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satisfaisantes de $y$ et $z\,;$ et réciproquement, on sera assuré que la proposée n’admet aucune solution en nombres entiers ; si, parmi les nombres qu’on aura essayés, il ne s’en trouve point de satisfaisants.

Second cas, lorsque $n^{2}-\mathrm {BC=A} >0.$

68. On fera usage ici de la méthode des n^os 33 et suivants ; ainsi, à cause de $\mathrm {E=4A} ,$ on considérera d’abord la quantité (n^o  39)

$a={\frac {n\pm {\sqrt {\mathrm {A} }}}{\mathrm {C} }},$

dans laquelle il faudra déterminer les signes tant de la valeur de $n,$ que nous avons vue pouvoir être également positive et négative, que de ${\sqrt {\mathrm {A} }},$ en sorte qu’elle devienne positive ; ensuite on fera le calcul suivant :

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {Q} _{0}&=-n,&\mathrm {P} _{0}&=\mathrm {C} ,&\mu \ \,&<\mathrm {\frac {-Q_{0}\pm {\sqrt {A}}}{P_{0}}} ,\\\mathrm {Q} _{1}&=\mu \ \,\mathrm {P_{0}+Q_{0}} ,&\mathrm {P} _{1}&=\mathrm {\frac {Q_{1}^{2}-A}{P_{0}}} ,&\mu _{1}&<\mathrm {\frac {-Q_{1}\mp {\sqrt {A}}}{P_{1}}} ,\\\mathrm {Q} _{2}&=\mu _{1}\mathrm {P_{1}+Q_{1}} ,&\mathrm {P} _{2}&=\mathrm {\frac {Q_{2}^{2}-A}{P_{1}}} ,&\mu _{2}&<\mathrm {\frac {-Q_{2}\pm {\sqrt {A}}}{P_{2}}} ,\\\mathrm {Q} _{3}&=\mu _{2}\mathrm {P_{2}+Q_{2}} ,\qquad &\mathrm {P} _{3}&=\mathrm {\frac {Q_{3}^{2}-A}{P_{2}}} ,\qquad &\mu _{3}&<\mathrm {\frac {-Q_{3}\mp {\sqrt {A}}}{P_{3}}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

et l’on continuera seulement ces séries jusqu’à ce que deux termes correspondants de la première et de la seconde série reparaissent ensemble. Alors, si, parmi les termes de la seconde série $\mathrm {P_{0},P_{1},P_{2}} ,\ldots ,$ il s’en trouve un égal à l’unité positive, ce terme donnera une solution de l’équation proposée, et les valeurs de $y$ et $z$ seront les termes correspondants des deux séries $p_{0},p_{1},p_{2},\ldots$ et $q_{0},q_{1},q_{2},\ldots ,$ calculées par les formules du n^o  25 ; sinon, on en conclura sur-le-champque la proposée n’est pas résoluble en nombres entiers. (Voir l’Exemple du n^o  40.)