de
il faudra que
soit divisible par
faisant donc
on aura
![{\displaystyle \alpha ^{2}x_{1}^{2}=\alpha ^{2}\mathrm {A} y^{2}+\alpha \mathrm {B} _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34dac88905086c16bf247c728f3b83af66c524b4)
ou bien, en divisant par ![{\displaystyle \alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2cc8f6d373595f06dcd33f127dadf2b9d5727f)
![{\displaystyle \alpha x_{1}^{2}=\alpha \mathrm {A} y_{1}^{2}+\mathrm {B} _{1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a3c8daeb45a15a5368ddebda7e5f27a3d0daa64)
d’où l’on voit que
devrait encore être divisible par
ce qui est contre l’hypothèse.
Ce n’est donc que lorsque
contient des facteurs carrés que
peut avoir une commune mesure avec
et il est facile de voir par la démonstration précédente que cette commune mesure de
et de
ne peut être que la racine d’un des facteurs carrés de
et que le nombre
devra avoir la même commune mesure ; en sorte que toute l’équation sera divisible par le carré de ce commun diviseur de
et
De là je conclus
1o Que, si
n’est divisible par aucun carré,
et
seront premiers entre eux ;
2o Que, si
est divisible par un seul carré
pourra être premier à
ou divisible par
ce qui fait deux cas qu’il faudra examiner séparément dans le premier cas, on résoudra l’équation
![{\displaystyle x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5ce6deaa71dc055c2f8e295af346d0ec950a1e)
en supposant
et
premiers entre eux ; dans le second, on aura à résoudre l’équation
![{\displaystyle x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B} _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f26d5ae1b4c92f6f2c3fea42a8a2a396a8e152)
étant
en supposant aussi
et
premiers entre eux ; mais il faudra ensuite multiplier par
les valeurs qu’on aura trouvées pour
et
pour avoir les valeurs convenables à l’équation proposée ;
3o Que, si
est divisible par deux différents carrés,
et
on aura trois cas à considérer dans le premier, on résoudra l’équation
![{\displaystyle x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5ce6deaa71dc055c2f8e295af346d0ec950a1e)