donc
![{\displaystyle a=g^{2}-bf-cf^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b3f510d9c21b5520fb9c639dafdc3731b0fbcb)
de sorte que ; en substituant cette valeur dans la formule proposée, elle deviendra
![{\displaystyle g^{2}+b(x-f)+c\left(x^{2}-f^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2386230f8d4ea782986288db6694384b88c75c6)
Qu’on prenne
pour la racine de cette quantité,
étant un nombre indéterminé, et l’on aura l’équation
![{\displaystyle g^{2}+b(x-f)+c(x^{2}-f^{2})=g^{2}+2mg(x-f)+m^{2}(x-f)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3407374701286b144cc2a1569a8325279a9e8f46)
c’est-à-dire, en effaçant
de part et d’autre, et divisant ensuite par ![{\displaystyle x-f,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32ac9db86e0590bcb87828b77ebdaccfccf996c4)
![{\displaystyle b+c(x+f)=2mg+m^{2}(x-f),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/891c2c32d381030f4b246e81ea2d8b8a889a2163)
d’où l’on tire
![{\displaystyle x={\frac {fm^{2}-2gm+b+cf}{m^{2}-c}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eefa0cfb6c02e8e8b15e1e9f972e7057c8d23b2c)
Et il est clair qu’à cause du nombre indéterminé
cette expression de
doit renfermer toutes les valeurs qu’on peut donner à
pour que la formule proposée devienne un carré ; car, quel que soit le nombre carré auquel cette formule peut être égale, il est visible que la racine de ce nombre pourra toujours être représentée par
en donnant à
une valeur convenable. Ainsi, quand on aura trouvé par la méthode expliquée ci-dessus une seule valeur satisfaisante de
il n’y aura qu’à la prendre pour
et la racine du carré qui en résultera pour
on aura par la formule précédente toutes les autres valeurs possibles de
.
Dans l’Exemple précédent on a trouvé
et
ainsi l’on fera
et
et l’on aura
![{\displaystyle x={\frac {19-10m-2m^{2}}{3(m^{2}-13)}}\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665a5b3e7fd5b32ae8c8726037f2a39fdda76326)
c’est l’expression générale des valeurs rationnelles de
qui peuvent rendre carrée la quantité ![{\displaystyle 7+15x+13x^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ce12d1be3a9dc9c2d29c680cf253c0e2609c978)