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On fera (n^o 52) $z=nq-139q_{1},$ et il faudra prendre pour $n$ un nombre entier non $>{\frac {139}{2}},$ c’est-à-dire $<70,$ tel que $n^{2}-13$ soit divisible par $139\,;$ je trouve $n=41,$ ce qui donne $n^{2}-13=1668=139.12\,;$ de sorte que, en faisant la substitution et divisant ensuite par $-139,$ on aura l’équation

$p^{2}=-12q^{2}+2.41qq_{1}-139q_{1}^{2}.$

Or, comme $-12$ n’est pas un carré, cette équation n’a pas encore les conditions requises ; ainsi, puisque $12$ est déjà moindre que $13,$ on multipliera toute l’équation par $-12,$ et elle deviendra

$-12p^{2}=\left(-12q+41q_{1}\right)^{2}-13q_{1}^{2}.$

de sorte qu’il faudra que $13q_{1}^{2}-12p^{2}$ soit un carré, ou bien, en faisant ${\frac {q_{1}}{p}}=y_{1},$ que

$13y_{1}^{2}-12$

en soit un aussi.

On voit ici qu’il n’y aurait qu’à faire $y_{1}=1\,;$ mais, comme ce n’est que le hasard qui nous donne cette valeur, nous allons poursuivre le calcul selon notre méthode, jusqu’à ce que l’on arrive à une formule qui soit susceptible des méthodes ordinaires. Comme $12$ est divisible par $4,$ je rejette ce diviseur carré, en me souvenant que je dois ensuite multiplier la valeur de $y_{1}$ par $2$ j’aurai donc à rendre carrée la formule $13y_{1}^{2}-3,$ ou bien, en faisant $y_{1}={\frac {r}{s}}{\biggl (}{\biggr .}$on suppose que $r$ et $s$ sont des nombres entiers premiers entre eux, en sorte que la fraction ${\frac {r}{s}}$ soit déjà réduite à ses moindres termes, comme la fraction $\left.{\frac {q_{1}}{p}}\right),$ celle-ci

$13r^{2}-3s^{2}\,;$

soit la racine $z_{1},$ j’aurai

$13r^{2}=z_{1}^{2}+3s^{2},$

et je ferai $z_{1}=ms-13s_{1},$ $m$ étant un nombre-entier non $>{\frac {13}{2}},$ c’est-à-dire $<7,$ et tel que $m^{2}+3$ soit divisible par $13\,;$ or je trouve $m=6,$