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La multiplication faite, on trouvera, en comparant les deux premiers termes,

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&\left(1+q^{2}\right)(\mathrm {A} )-q(\mathrm {B} ),\\\mathrm {B} =&\left(1+q^{2}\right)(\mathrm {B} )-2q(\mathrm {A} )-q(\mathrm {C} ).\end{aligned}}$

Or $(\mathrm {C} )$ est donné en $(\mathrm {A} )$ et $(\mathrm {B} )$ de la même manière que $\mathrm {C}$ est donné en $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ il suffira pour cela de mettre dans l’expression de $\mathrm {C} ,$ Article XVIII, $(\mathrm {A} )$ au lieu de $\mathrm {A} ,$ $(\mathrm {B} )$ au lieu de $\mathrm {B} ,$ $(\mathrm {C} )$ au lieu de $\mathrm {C} ,$ et $\lambda +1$ au lieu de $\lambda \,;$ ce qui donnera

$(\mathrm {C} )={\frac {\left(1+q^{2}\right)(\mathrm {B} )-2(\lambda +1)q(\mathrm {A} )}{(1-\lambda )q}}\,;$

donc, si l’on substitue cette valeur de $\mathrm {(} C),$ on aura deux équations en $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B,(A),(B)} ,$ d’où l’on tirera

${\begin{aligned}(\mathrm {A} )=&{\frac {\left(1+q^{2}\right)(\mathrm {A} )+{\frac {\lambda -1}{\lambda }}q(\mathrm {B} )}{\left(1-q^{2}\right)^{2}}},\\(\mathrm {B} )=&{\frac {{\frac {\lambda -1}{\lambda }}\left(1+q^{2}\right)(\mathrm {B} )+4q(\mathrm {A} )}{\left(1-q^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}$

Connaissant $(\mathrm {A} )$ et $(\mathrm {B} ),$ on connaîtra tous les suivants (Article XVIII).

XXI.

De ce qu’on vient de démontrer, il suit qu’on peut supposer

${\begin{aligned}&\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\\&\quad =\Gamma (a_{1},a_{2})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\qquad +\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})\cos 3(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots ,\\\\&\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}\\&\quad =\Lambda (a_{1},a_{2})+\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\qquad +\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Lambda _{3}(a_{1},a_{2})\cos 3(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots .\end{aligned}}$

J’entends par

$\Gamma (a_{1},a_{2}),\ \Gamma _{1}(a_{1},a_{2}),\ \Gamma _{2}(a_{1},a_{2}),\ldots \,;\quad \Lambda (a_{1},a_{2}),\ \Lambda _{1}(a_{1},a_{2}),\ \Lambda _{2}(a_{1},a_{2}),\ldots \,;$