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Et pareillement

${\begin{aligned}{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{4})^{3}}}=&\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{4}\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+a_{4}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\\&-3n\left[a_{1}^{2}x_{1}+a_{4}^{2}x_{4}-a_{1}a_{4}(x_{1}+x_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})\right]\\&\qquad \qquad \times \left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{4}\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+a_{4}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}+\ldots \,;\end{aligned}}$

et ainsi des autres.

XVIII.

Mais il se présente ici une difficulté, par rapport aux quantités

$\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}},\quad \left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}},\ldots ,$

c’est de pouvoir les réduire à une forme rationnelle, condition absolument nécessaire pour l’intégration des équations des satellites.

Pour résoudre cette difliculté, on écrira d’abord les radicaux proposés ainsi

$a_{2}^{-3}\left[1-{\frac {2a_{1}}{a_{2}}}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\frac {a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}}\right]^{-{\frac {3}{2}}},$

$a_{2}^{-5}\left[1-{\frac {2a_{1}}{a_{2}}}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\frac {a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}}\right]^{-{\frac {5}{2}}},\ldots ,$

et la question se réduira à changer en une fonction rationnelle une quantité de cette forme

$\left(1-2q\cos \theta +q^{2}\right)^{-\lambda },$

dans laquelle $q$ est un nombre moindre que l’unité.

Pour y parvenir, je remarque que la quantité $1-2q\cos \theta +q^{2}$ est égale au produit de ces deux quantités

$1-q\left(\cos \theta +\sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\quad {\text{et}}\quad 1-q\left(\cos \theta -\sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\,;$

je les élève donc l’une et l’autre à la puissance $-\lambda ,$ en écrivant au lieu du carré de $\cos \theta \pm \sin \theta {\sqrt {-1}},$ $\cos 2\theta \pm \sin 2\theta {\sqrt {-1}},$ et ainsi de suite ;