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Si l’on suppose $\mathrm {D}$ constante, on aura

$\nu =\mathrm {\frac {3E}{1+2E}} .$

En général, quelle que soit $\mathrm {D} ,$ on aura, par les conditions de l’équilibre,

$\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)} =5\mathrm {A^{2}\left(E-{\frac {1}{2}}{\text{ϐ}}\right)\int DA^{2}} d\mathrm {A}$

(ϐ étant le rapport de la force centrifuge à la pesanteur, sous l’équateur) ; donc

$\nu =5\mathrm {E} -{\frac {5}{2}}$ϐ

à très-peu près.

XVII.

Il faut maintenant développer les expressions des forces perturbatrices $\mathrm {P,Q,R} ,$ en employant les suppositions de l’article V. Pour cela nous remarquerons d’abord que nous pouvons négliger dans ce calcul tous les termes de l’ordre $n^{2},$ parce que les quantités $\mathrm {P,Q,R}$ sont déjà elles-mêmes de l’ordre $n,$ comme nous le verrons plus bas. Donc, mettant premièrement dans la valeur de $\Delta (r_{1},r_{2})$ [Article XIV], au lieu de $r_{1},$ $a_{1}(1+nx_{1}),$ au lieu de $p_{1},$ $nz_{1}\,;$ et de même, au lieu de $r_{2},$ $a_{2}(1+nx_{2}),$ et au lieu de $p_{2},$ $nz_{2},$ suivant ce que nous avons dit à l’Article IX on aura

${\begin{aligned}&\Delta (r_{1},r_{2})\\&={\sqrt {a_{1}^{2}(1+2nx_{1})-2a_{1}a_{2}(1+nx_{1}+nx_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}(1+2nx_{2})}}\\&={\sqrt {\left({\begin{aligned}a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}+2n\left(a_{1}^{2}x_{1}+a_{2}^{2}x_{2}\right)&\\-2na_{1}a_{2}(x_{1}+x_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})&\end{aligned}}\right)}},\end{aligned}}$

d’où l’on tire, par les séries,

${\begin{aligned}{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}=&\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\\&-3n\left[a_{1}^{2}x_{1}+a_{2}^{2}x_{2}-a_{1}a_{2}(x_{1}+x_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]\\&\qquad \qquad \times \left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}+\ldots .\end{aligned}}$

On trouvera de même

${\begin{aligned}{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{3})^{3}}}=&\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{3}\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+a_{3}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\\&-3n\left[a_{1}^{2}x_{1}+a_{3}^{2}x_{3}-a_{1}a_{3}(x_{1}+x_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})\right]\\&\qquad \qquad \times \left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{3}\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+a_{3}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}+\ldots .\end{aligned}}$