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${\begin{aligned}\mathrm {P} _{2}&={\mathfrak {S}}_{1}\left[{\frac {r_{2}p_{2}-r_{1}p_{1}}{\Delta (r_{2},r_{1})^{3}}}+{\frac {p_{1}}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{3}\left[{\frac {r_{2}p_{2}-r_{3}p_{3}}{\Delta (r_{2},r_{3})^{3}}}-{\frac {p_{3}}{r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{4}\left[{\frac {r_{2}p_{2}-r_{4}p_{4}}{\Delta (r_{2},r_{4})^{3}}}-{\frac {p_{4}}{r_{4}^{2}\left(1+p_{4}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+\circledast {\frac {r_{2}p_{2}}{\delta _{2}^{3}}}.\end{aligned}}$

On aura pareillement les expressions de $\mathrm {R_{3},Q_{3},P_{3}} ,$ et de $\mathrm {R_{4},Q_{4},P_{4}} ,$ en marquant successivement de trois et de quatre traits les lettres qui ne sont marquées que d’un seul trait dans les expressions de $\mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}} ,$ et réciproquement^[1].

XIV.

Il reste à chercher les valeurs des quantités $\Delta (r_{1},r_{2}),\Delta (r_{1},r_{3}),\ldots ,$ qui expriment les distances entre le premier satellite et le second, entre le premier et le troisième, etc. (Article IX). Or il est facile de trouver qu’on aura

${\begin{aligned}\Delta (r_{1},r_{2})^{2}=&(r_{2}p_{2}-r_{1}p_{1})^{2}+\left[r_{1}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]^{2}+\left[r_{2}-r_{1}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]^{2}\\=&r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)-2r_{1}r_{2}\left[\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+p_{1}p_{2}\right]+r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)\,;\end{aligned}}$

donc, tirant la racine carrée,

$\Delta (r_{1},r_{2})={\sqrt {r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)-2r_{1}r_{2}\left[\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+p_{1}p_{2}\right]+r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)}}.$

On trouvera pareillement

$\Delta (r_{1},r_{3})={\sqrt {r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)-2r_{1}r_{3}\left[\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+p_{1}p_{3}\right]+r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)}},$

et ainsi des autres. On voit par là que

$\Delta (r_{2},r_{1})=\Delta (r_{1},r_{2}),$

car l’expression de cette dernière quantité demeure la même, en changeant $r_{1},p_{1},\varphi _{1}$ en $r_{2},p_{2},\varphi _{2}$ et réciproquement ; ce qui est d’ailleurs évident.

1. Voir la Note de la page 76.