SUPPLÉMENT AU MÉMOIRE PRÉCÉDENT.
L’objet de ce Supplément est de montrer comment la formule du no 35, qui renferme toute la Théorie de la variation des constantes arbitraires, et à laquelle je ne suis arrivé que par une analyse longue et compliquée, peut se déduire immédiatement des équations primitives du no 8.
En conservant toujours la caractéristique
pour dénoter les différentielles provenant uniquement de la variation des constantes arbitraires, il est facile de voir que ces équations peuvent se mettre sous cette forme plus simple
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\Omega }{dr}}dt=&\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}},\\{\frac {d\Omega }{ds}}dt=&\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}},\\{\frac {d\Omega }{du}}dt=&\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7110f3197be6748d691b13eb9f957110f0738fec)
dont celles du no 8 ne sont que le développement.
De là, en regardant
comme fonctions de
on tire tout de suite
![{\displaystyle {\frac {d\Omega }{da}}dt={\frac {dr}{da}}\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+{\frac {ds}{da}}\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+{\frac {du}{da}}\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd057c43862b76a0c51aa6ea827d5cbcd02aee74)
et, à cause de
![{\displaystyle \delta r=0,\quad \delta s=0,\quad \delta u=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a6ead0a70a0228e04a3aa3156cd5960ec86944)
on a aussi
![{\displaystyle {\frac {d\Omega }{da}}dt={\frac {dr}{da}}\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+{\frac {ds}{da}}\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+{\frac {du}{da}}\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}-{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {R} }{dr'}}}{da}}\delta r-{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {R} }{ds'}}}{da}}\delta s-{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {R} }{du'}}}{da}}\delta u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f41fd5db7371a00d7549d5d584b229d1812dd3c)
où il n’y a plus qu’à changer
en
pour avoir la formule dont il s’agit.
Cette équation et celle du no 34, par laquelle on voit que le second membre de l’équation précédente est toujours indépendant du temps
sont le résultat de tout le Mémoire, qui, présenté de cette manière, ne tiendrait que deux ou trois pages.