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Or, $\mathrm {R}$ étant une fonction des variables $r,s,u,r',\ldots ,$ il est facile de voir, par le développement des différentielles marquées par $\Delta$ et $\delta ,$ que les deux formules

${\begin{aligned}&\Delta r\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr}}+\Delta s\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds}}+\Delta u\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du}}+\Delta r'\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+\ldots ,\\&\delta r\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr}}+\delta s\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds}}+\delta u\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{du}}+\delta r'\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+\ldots \end{aligned}}$

sont identiques. Donc il reste l’équation intégrable

$d\left(\Delta r\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+\Delta s\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+\Delta u\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}-\delta r\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}-\delta s\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}-\delta u\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}\right)=0.$

35. Enfin, si dans l’expression de ${\frac {d\Omega }{da}}dt$ du n^o 20 on substitue les valeurs des symboles $(a,b),(a,c),\ldots$ données dans le n^o 26, et qu’on dénote, comme dans le n^o 7, par la caractéristique $\delta$ les différentielles provenant uniquement de la variation des constantes $a,b,c,f,\ldots ,$ on aura l’équation

${\frac {d\Omega }{da}}dt={\frac {dr}{da}}\delta {\frac {d\mathrm {T} }{dr'}}+{\frac {ds}{da}}\delta {\frac {d\mathrm {T} }{ds'}}+{\frac {du}{da}}\delta {\frac {d\mathrm {T} }{du'}}-{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {T} }{dr'}}}{da}}\delta r-{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {T} }{ds'}}}{da}}\delta s-{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {T} }{du'}}}{da}}\delta u,$

où le $t$ devant disparaître du second membre y peut être supposé tout ce que l’on voudra.

On aura autant de pareilles équations qu’il y a de constantes arbitraires, en changeant successivement $a$ en $b,c,f,\ldots$ dans les différences partielles.

C’est là, ce me semble, ce que l’Analyse peut donner de plus simple sur la variation des constantes arbitraires dans les Problèmes de Mécanique.