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variations de la constante arbitraire $2a$ seront celles que la force vive éprouve par l’action des forces perturbatrices.

30. La quantité

${\frac {d\Omega }{dr}}dr+{\frac {d\Omega }{ds}}ds+{\frac {d\Omega }{du}}du+\ldots$

n’est autre chose que la différentielle de $\Omega ,$ en ne faisant varier que les quantités $r,s,u,\ldots$ qui appartiennent au système ; et, comme ces quantités sont censées connues en fonction du temps $t,$ la quantité dont il s’agit peut être regardée comme la différentielle de $\Omega$ par rapport au temps $t,$ en tant qu’on n’a égard qu’aux variables relatives au système. Or les équations différentielles du mouvement du système ne renfermant point le temps fini $t\,;$ mais seulement sa différentielle $dt,$ parmi les constantes arbitraires que les intégrales de ces équations doivent contenir, il y en aura nécessairement une qui se trouvera ajoutée au temps fini $t$.

Ainsi, en nommant $c$ cette constante, les expressions finies de $r,s,u,\ldots ,$ seront fonctions de $t+c.$ Donc la différentielle de relative à $t,$ en tant que $t$ entre dans les expressions de $r,s,u,\ldots ,$ sera la même que la différentielle de $\Omega$ relative à $c\,;$ d’où il suit qu’on aura

${\frac {d\Omega }{dr}}dr+{\frac {d\Omega }{ds}}ds+{\frac {d\Omega }{du}}du+\ldots ={\frac {d\Omega }{dc}}dt.$

Par conséquent on aura sur-le-champ cette équation relative aux variations des constantes arbitraires $a$ et $c$

$da={\frac {d\Omega }{dc}}dt.$

Cette expression de la variation de la constante arbitraire $a$ est très-remarquable par sa simplicité et sa généralité, et surtout parce qu’on y parvient à priori, indépendamment de la variation des autres constantes arbitraires.

31. Cela posé, je vais prouver que la valeur variable de $a$ ne peut