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et de même

${\begin{aligned}\Delta s\,d{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}=&d\left(\Delta s{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}\right)-{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}\Delta s'dt,\\\Delta u\,d{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}=&d\left(\Delta u{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}\right)-{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}\Delta u'dt.\end{aligned}}$

Substituant ces valeurs dans l’équation précédente, on pourra lui donner cette forme $\left(\right.$puisque $\mathrm {R}$ est une fonction de $\left.r,s,u,r',s',u'\right)$

$d\left(\Delta r{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+\Delta s{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+\Delta u{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}\right)-\Delta \mathrm {R} dt=0.$

On trouvera pareillement, en changeant la caractéristique $\Delta$ en $\delta ,$

$d\left(\delta r{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+\delta s{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+\delta u{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}\right)-\delta \mathrm {R} dt=0.$

Maintenant, si l’on affecte tous les termes de la première équation de la caractéristique $\delta$ et ceux de la seconde de la caractéristique $\Delta ,$ et qu’on regarde les variations $\Delta r,\Delta s,\Delta u$ comme constantes à l’égard de la caractéristique $\delta ,$ ainsi que les variations $\delta r,\delta s,\delta u,$ comme constantes à l’égard de la caractéristique $\Delta \,;$ que de plus on se souvienne que le $d$ n’a rapport qu’au temps $t,$ et est par conséquent indépendant de $\delta$ et $\Delta ,$ on aura ces deux équations-ci

${\begin{aligned}d\left(\Delta r\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+\Delta s\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+\Delta u\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}\right)-\delta \Delta \mathrm {R} dt&=0,\\d\left(\delta r\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+\delta s\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+\delta u\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}\right)-\Delta \delta \mathrm {R} dt&=0.\end{aligned}}$

Or, puisque les deux caractéristiques $\delta$ et $\Delta$ sont indépendantes entre elles, en supposant les variations de $r,s,u,r',s',u'$ relatives à ces caractéristiques aussi indépendantes les unes des autres, il est clair qu’on aura

$\delta \Delta \mathrm {R} =\Delta \delta \mathrm {R} .$

Donc, retranchant les deux équations l’une de l’autre, on aura une