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Pour le mouvement de rotation, nous avons donné dans la Mécanique analytique l’expression de $\mathrm {T}$ en fonction des angles $\varphi ,\psi ,\omega ,$ à la place desquels il n’y aura qu’à substituer $r,s,u.$

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ADDITION.

25. Depuis là lecture de ce Mémoire j’ai observé que l’équation intégrale trouvée dans le n^o 15 pouvait se réduire à cette forme simple

$\Delta r\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+\Delta s\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+\Delta u\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}-\delta r\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}-\delta s\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}-\delta u\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}=\mathrm {K} ,$

et j’ai reconnu qu’il était possible de la déduire directement des trois équations différentielles

${\begin{aligned}d{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}-{\frac {d\mathrm {R} }{dr}}dt=&0,\\d{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}-{\frac {d\mathrm {R} }{ds}}dt=&0,\\d{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}-{\frac {d\mathrm {R} }{du}}dt=&0,\end{aligned}}$

par le seul jeu des caractéristiques $\delta$ et $\Delta ,$ et sans exécuter les différentiations relatives à $d$.

En effet, si l’on ajoute ces équations ensemble, après les avoir multipliées respectivement par $\Delta r,\Delta s,\Delta u,$ on a

$\Delta r\,d{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+\Delta s\,d{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+\Delta u\,d{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}-\left({\frac {d\mathrm {R} }{dr}}\Delta r+{\frac {d\mathrm {R} }{ds}}\Delta s+{\frac {d\mathrm {R} }{du}}\Delta u\right)dt=0.$

Or

$\Delta r\,d{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}=d\left(\Delta r{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}\right)-{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}d\Delta r.$

Mais nous avons déjà vu que $d\Delta r=\Delta r'dt$ (numéro cité) ; ainsi l’on aura

$\Delta r\,d{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}=d\left(\Delta r{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}\right)-{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}\Delta r'dt,$