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Il est visible que ces équations seront toutes du second ordre, de sorte que les expressions finies de $r,s,u,\ldots$ contiendront deux fois autant de constantes arbitraires qu’il y a de variables. Nous dénoterons ces constantes par $a,b,c,f,g,h,\ldots .$

4. Supposons maintenant que, le Problème étant résolu dans cet état et les expressions de $r,s,u,\ldots$ étant connues en fonctions de $t$ et de $a,b,c,f,\ldots ,$ on demande de résoudre le même Problème, dans le cas où les différents corps du système seraient de plus soumis à l’action de forces perturbatrices de la nature des forces $\mathrm {P,Q} ,\ldots ,$ mais dont les centres soient mobiles d’une manière quelconque indépendante du système.

Désignons par $-\Omega$ ce que devient la fonction $\mathrm {V}$ pour les forces perturbatrices dont il s’agit ; il n’y aura qu’à mettre $\mathrm {V} -\Omega$ à la place de $\mathrm {V}$ dans les équations précédentes, pour avoir les équations du mouvement du même système altéré par les forces perturbatrices.

Ces équations seront ainsi

${\begin{aligned}&{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {T} }{dr'}}}{dt}}-{\frac {d\mathrm {T} }{dr}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dr}}={\frac {d\Omega }{dr}},\\&{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {T} }{ds'}}}{dt}}-{\frac {d\mathrm {T} }{ds}}+{\frac {d\mathrm {V} }{ds}}={\frac {d\Omega }{ds}},\\&{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {T} }{du'}}}{dt}}-{\frac {d\mathrm {T} }{du}}+{\frac {d\mathrm {V} }{du}}={\frac {d\Omega }{du}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

et, si l’on suppose que les mêmes expressions de $r,s,u,\ldots ,$ ainsi que celles de $r',s',u',\ldots ,$ y satisfassent encore en regardant comme variables les constantes arbitraires $a,b,c,f,g,\ldots ,$ la question sera réduite à déterminer ces variables d’après ces conditions.