Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/764

de $nt+c,$ la portion de ${\frac {d\Omega }{da}}$ qui dépend de $n$ sera

${\frac {d\Omega }{dc}}.t{\frac {dn}{da}}\,;$

donc, comme la valeur de ${\frac {dc}{dt}}$ contient le terme

$-{\frac {2}{na}}{\frac {d\Omega }{da}},$

elle contiendra, à raison de la variation de $n,$ la partie

$-{\frac {2}{na}}{\frac {d\Omega }{dc}}.t{\frac {dn}{da}}.$

Donsce la variation de l’angle $nt+c$ sera, à raison de la variation de $n,$

$t{\frac {dn}{da}}da-{\frac {2}{na}}{\frac {d\Omega }{dc}}.t{\frac {dn}{da}}dt\,;$

mais

$da={\frac {2}{na}}{\frac {d\Omega }{dc}}dt\,;$

donc la variation sera nulle. Mais, comme $n$ est une quantité essentiellement variable, la différentielle de $nt$ est $n\,dt+t\,dn\,;$ ainsi, en n’ayant point égard à la partie $t\,dn,$ il faudra substituer $\int n\,dt$ à la place de $nt$ dans la valeur de $u,$ ce qui fera disparaître en même temps les termes qui se trouveraient multipliés par $t\,;$ mais l’emploi de ces termes était nécessaire dans les formules des variations dues à la constante $a$, sans quoi on aurait trouvé pour la quantité $(a,c)$ une valeur fausse.

26. Les formules du n^o 24, quoique fort simples, sont encore susceptibles d’une simplification importante. Il est visible que la seconde équation est de cette forme

${\frac {d\Omega }{db}}dt={\frac {na^{2}b}{\sqrt {1-b^{2}}}}(df+\cos h\,dg).$