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le calcul. Or, comme $\Omega$ est une fonction des coordonnées $x,y,z,x',y',z',\ldots ,$ en substituant pour ces coordonnées leurs valeurs, elle deviendra une fonction de $u,$ de $a,b,c,f,g,h,$ de $u',$ de $a',b',c',f',g',h',$ de $u'',\ldots ,$ et pourra toujours être réduite en série suivant les sinus et cosinus des angles $u,u',\ldots .$ Alors le terme indépendant de $u,u',\ldots$ donnera les équations séculaires, et les autres termes donneront les équations périodiques. Et, si l’on rapporte les orbites des planètes au centre commun de gravité du Soleil et des planètes, on aura l’avantage de l’uniformité et de la simplicité du calcul pour toutes les planètes.

25. Avant de terminer ce Mémoire, il est bon de faire remarquer que la valeur de ${\frac {da}{dt}},$ qu’on vient de trouver, s’accorde avec celle qu’on a trouvée par une autre voie (8). En effet, comme par l’équation du n^o 18

$nt+c=u+b\sin u$

l’angle $u$ devient une fonction de $nt+c,$ il est visible que les différences partielles de $\Omega ,$ relatives à $nt$ et à $c,$ seront la même chose ; de sorte qu’on aura

${\frac {d\Omega }{dc}}={\frac {d\Omega }{n\,dt}}\,;$

ainsi l’on aura

${\frac {da}{dt}}={\frac {2}{na}}{\frac {d\Omega }{n\,dt}},$

mais $n^{2}={\frac {1+m}{a^{3}}}\,;$ donc

$da={\frac {2a^{2}}{1+m}}{\frac {d\Omega }{n\,dt}}ndt,$

qui est la formule du n^o 8 ; ce qui pourrait servir, s’il était nécessaire, à confirmer la bonté de nos calculs.

Une autre remarque essentielle, c’est que, dans la différentiation partielle de la fonction $\Omega$ relativement à $a,$ on peut se dispenser de faire varier la quantité $n$ qui dépend de $a\,;$ car, puisque $\Omega$ est une fonction