Cette substitution faite, on divisera toute l’équation par
et l’on aura, en mettant pour plus de simplicité
au lieu de
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-(2f+\mu ^{2})x-2\mu {\frac {dy}{dt}}+f\mathrm {X} +nf\left(3x^{2}-{\frac {3}{2}}z^{2}\right)-2n\mu x{\frac {dy}{dt}}-n{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/240200c50a974a0af2b26862a6f15270744065f0)
VI.
L’équation (B) deviendra, par les mêmes substitutions,
![{\displaystyle \mu +n{\frac {dy}{dt}}=\left[{\frac {c}{a^{2}}}+{\frac {\int \mathrm {Q} (1+nx)dt}{a}}\right]\left(1-2nx+3n^{2}x^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03dce5386d2bdd098cffa87b145810b397d06b89)
Si
était
on aurait
![{\displaystyle \int \mathrm {Q} dt=a\mu -{\frac {c}{a}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a4503b0f168fc43b03965aaf517ac7fd309719e)
supposons donc
![{\displaystyle \int \mathrm {Q} (1+nx)dt=a\mu -{\frac {c}{a}}+n{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\mathrm {Y} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc0804346da0d1fb92bbac92c3973f901e6d5757)
on aura, après les réductions,
![{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-2\mu x+f\mathrm {Y} +3n\mu x^{2}-2nfx\mathrm {Y} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22fac2ea742fdc348db198e37e60c865dab6415c)
VII.
Enfin l’équation (C) se changera en celle-ci
![{\displaystyle n{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+nz\left(\mu ^{2}+2n\mu {\frac {dy}{dt}}\right)+2n^{2}{\frac {dzdx}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {P} -n\mathrm {R} z}{a(1+nx)}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c07fc76451da37e326ae216ad59e8aaab7f321b)
et l’on prouvera ici, comme on a fait ci-dessus, qu’il faut que la quantité
soit très-petite de l’ordre
c’est pourquoi nous supposerons
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P} -n\mathrm {R} z}{1+nx}}=n{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\mathrm {Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1684b8ce2a66b1270b374f416859a2ebade2a49a)
d’où nous aurons l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mu ^{2}z+f\mathrm {Z} +2n\mu z{\frac {dy}{dt}}+2n{\frac {dzdx}{dt^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d43553bb507b28c2898db3ba9c31125ef96847e0)