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Différentiant encore ces valeurs en ne faisant varier que $t$ et $u,$ et substituant pour ${\frac {du}{dt}}$ sa valeur ${\frac {n}{1+b\cos u}},$ on aura celles de ${\frac {d^{2}x}{dtda}},$ ${\frac {d^{2}y}{dtda}},\ldots .$

En faisant ensuite dans les unes et dans les autres $t=0,$ $u=0,$ on aura celles-ci

${\begin{alignedat}{2}{\frac {dx}{da}}\ \ =&1+b,&{\frac {dy}{da}}\ \ =&0,\\{\frac {dx}{db}}\ \ =&a,&{\frac {dy}{db}}\ \ =&0,\\{\frac {dx}{dc}}\ \ =&0,&{\frac {dy}{dc}}\ \ =&{\frac {a{\sqrt {1-b^{2}}}}{1+b}},\\{\frac {d^{2}x}{dtda}}=&0,&{\frac {d^{2}y}{dtda}}=&-{\frac {n{\sqrt {1-b^{2}}}}{2(1+b)}},\\{\frac {d^{2}x}{dtdb}}=&0,&{\frac {d^{2}y}{dtdb}}=&-{\frac {na}{(1+b){\sqrt {1-b^{2}}}}},\\{\frac {d^{2}x}{dtdc}}=&-{\frac {na}{(1+b)^{2}}},\qquad &{\frac {d^{2}y}{dtdc}}=&0.\end{alignedat}}$

Ces valeurs, substituées dans les expressions des symboles $(a,b),(a,c),(b,c),\ldots$ du n^o 6, en y faisant $z=0,$ donneront enfin

$(a,b)=0,\quad (a,c)=-{\frac {na}{2}},\quad (b,c)=0.$

Ce sont les valeurs de ces quantités, en supposant le grand axe et le plan de l’orbite fixes.

20. Cela posé, considérons maintenant les valeurs complètes de $x,y,z$ rapportées à un plan fixe et indépendant de celui de l’orbite. Nommons $\mathrm {X,Y,Z}$ les valeurs employées ci-dessus, savoir

$\mathrm {X} =a(b+\cos u),\quad \mathrm {Y} =a{\sqrt {1-b^{2}}}\sin u,\quad \mathrm {Z} =0.$

Par la Théorie connue du changement des coordonnées rectangulaires