Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/750

Mais les équations différentielles en $x,y,z$ de l’orbite de $m$ rapportée au centre commun de gravité donnent (14)

${\begin{aligned}{\frac {x}{r^{3}}}=&-{\frac {d^{2}x}{(1+\mathrm {M} )dt^{2}}}+{\frac {d\Omega }{(1+\mathrm {M} )mdx}},\\{\frac {y}{r^{3}}}=&-{\frac {d^{2}y}{(1+\mathrm {M} )dt^{2}}}+{\frac {d\Omega }{(1+\mathrm {M} )mdy}},\\{\frac {z}{r^{3}}}=&-{\frac {d^{2}z}{(1+\mathrm {M} )dt^{2}}}+{\frac {d\Omega }{(1+\mathrm {M} )mdz}}.\end{aligned}}$

Substituant ces quantités dans ${\frac {x\mathrm {X} +y\mathrm {Y} +z\mathrm {Z} }{r^{3}}},$ il vient

${\frac {1}{2a}}={\frac {1}{2\alpha }}-{\frac {d\left(\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz\right)}{(1+\mathrm {M} )dt^{2}}}+\Psi$^[1],

en faisant, pour abréger,

$\Psi ={\frac {\left(x\mathrm {X} +y\mathrm {Y} +z\mathrm {Z} \right)^{2}-r^{2}\mathrm {\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right)} }{r^{3}}}-{\frac {d\mathrm {X} ^{2}+d\mathrm {Y} ^{2}+d\mathrm {Z} ^{2}}{2(1+\mathrm {M} )dt^{2}}}$

$+{\frac {1}{1+\mathrm {M} }}\left({\frac {\mathrm {X} d\Omega }{mdx}}+{\frac {\mathrm {Y} d\Omega }{mdy}}+{\frac {\mathrm {Z} d\Omega }{mdz}}\right)$^[2].

Dans cette formule on a (numéro cité)

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&-mx-m'x-\ldots ,\\\mathrm {Y} =&-my-m'y-\ldots ,\\\mathrm {Z} =&-mz-m'z-\ldots \,;\end{aligned}}$

de sorte que la fonction $\Psi$ est du second ordre relativement aux masses

1. Cette formule est inexacte, comme celle d’où olle est tirée ; il faut la remplacer par la suivante
   ${\frac {1}{2a}}={\frac {1}{2\alpha }}-{\frac {\left(\mathrm {X} d^{2}x+\mathrm {Y} d^{2}y+\mathrm {Z} d^{2}z\right)-(dx\,d\mathrm {X} +dy\,d\mathrm {Y} +dz\,d\mathrm {Z} )}{(1+\mathrm {M} )dt^{2}}}+\Psi .$
   (Note de l’Éditeur.)
2. Dans le second membre de cette formule, il faut donner le coefficient $2$ au dénominateur du premier terme et le coefficient $3$ à la première partie du numérateur.
   (Note de l’Éditeur.)