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où l’on remarquera que les valeurs de $x$ et de ${\frac {dy}{dt}}$ ne doivent contenir aucun terme constant ; autrement $a$ et $\mu$ ne seraient plus les valeurs moyennes de $r$ et de ${\frac {d\varphi }{dt}},$ ce qui est contre l’hypothèse.

V.

Substituons maintenant ces expressions de $r,\varphi ,p$ dans les équations de l’Article II et négligeons les termes qui se trouveraient multipliés par des puissances de $n$ plus hautes que $n^{2},$ parce qu’une plus grande exactitude serait superflue dans le sujet que nous traitons ; nous changerons d’abord l’équation (A) en celle-ci

${\begin{aligned}-na{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=&{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\left(1-2nx+3nx^{2}\right)\left(1-{\frac {3}{2}}n^{2}z^{2}\right)+\mathrm {R} \\&-a(1+nx)\left(\mu ^{2}+2n\mu {\frac {dy}{dt}}+n^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\right),\end{aligned}}$

ou bien

${\begin{aligned}na{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}-a\mu ^{2}-n\left({\frac {2\mathrm {F} }{a^{2}}}+a\mu ^{2}\right)x+n^{2}{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\left(3x^{2}-{\frac {3}{2}}z^{2}\right)-2na\mu {\frac {dy}{dt}}&\\-2n^{2}a\mu x{\frac {dy}{dt}}-n^{2}a{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+\mathrm {R} &=0.\end{aligned}}$

Si $n$ était $=0,$ on aurait

${\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}-a\mu ^{2}+\mathrm {R} =0\,;$

donc, $n$ étant très-petite, la quantité

${\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}-a\mu ^{2}+\mathrm {R}$

devra l’être aussi ; de sorte qu’on pourra supposer

${\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}-a\mu ^{2}+\mathrm {R} =n{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\mathrm {X} .$