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Ainsi les coordonnées autour du Soleil sont données par celles qui se rapportent au centre de gravité.

De plus, comme tous ces mouvements sont à peu près elliptiques, soit autour du centre commun de gravité, soit autour du Soleil, on peut aussi rapporter à des ellipses variables les nouvelles coordonnées

x-\mathrm {X} ,\quad y-\mathrm {Y} ,\quad z-\mathrm {Z} \,;

et, par la Théorie des osculations que j’ai exposée ailleurs, on aura les valeurs des éléments variables correspondants, en substituant ces coordonnées à la place des coordonnées $x,y,z$ dans l’expression de chaque élément en $x,y,z$ et ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}},$ relative au cas où l’on regarde les éléments comme constants.

Ainsi, comme on a, en général (8), pour le grand axe $2a,$ l’expression

{\frac {1}{2a}}={\frac {1}{r}}-{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2(1+m)dt^{2}}}\,;

on aura pareillement pour le grand axe $2\alpha$ de la planètes rapportée au centre commun de gravité

{\frac {1}{2\alpha }}={\frac {1}{r}}-{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2(1+\mathrm {M} )dt^{2}}},

où $x,y,z$ et $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ sont censés avoir leur origine au centre commun de gravité ; et cette valeur de ${\frac {1}{2\alpha }}$ deviendra celle de ${\frac {1}{2a}}$ pour la même planète rapportée au Soleil, par la substitution de $x-\mathrm {X} ,y-\mathrm {Y} ,$ $z-\mathrm {Z}$ au lieu de $x,y,z$ ^[1].

↑ Une explication, sur ce passage, est peut-être nécessaire. Comme, dans l’expression précédente de ${\frac {1}{2a}},$ $x,y,z$ désignent les coordonnées de la planète par rapport au Soleil., il est clair qu’il suffira de substituer $x-\mathrm {X} ,y-\mathrm {Y} ,z-\mathrm {Z}$ à $x,y,z,$ si ces dernières lettres sont employées pour représenter les coordonnées relatives au centre de gravité, $\mathrm {X,Y,Z}$ désignant alors les coordonnées du Soleil. Mais on peut aussi procéder d’une autre manière, comme le fait Lagrange. À la force ${\frac {1+m}{(x-\mathrm {X} )^{2}+(y-\mathrm {Y} )^{2}+(z-\mathrm {Z} )^{2}}},$ qui régit le mouvement elliptique

[p746-1] Une explication, sur ce passage, est peut-être nécessaire. Comme, dans l’expression précédente de ${\frac {1}{2a}},$ $x,y,z$ désignent les coordonnées de la planète par rapport au Soleil., il est clair qu’il suffira de substituer $x-\mathrm {X} ,y-\mathrm {Y} ,z-\mathrm {Z}$ à $x,y,z,$ si ces dernières lettres sont employées pour représenter les coordonnées relatives au centre de gravité, $\mathrm {X,Y,Z}$ désignant alors les coordonnées du Soleil. Mais on peut aussi procéder d’une autre manière, comme le fait Lagrange. À la force ${\frac {1+m}{(x-\mathrm {X} )^{2}+(y-\mathrm {Y} )^{2}+(z-\mathrm {Z} )^{2}}},$ qui régit le mouvement elliptique

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