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Ce terme devant être multiplié par ${\frac {d^{2}\Omega }{ndtd\mathrm {X} }},$ il est visible qu’il n’en pourra résulter de terme sans $t,$ à moins qu’on ne prenne dans ${\frac {d\Omega }{d\mathrm {X} }}$ un terme qui ait le même argument $\mathrm {N} t,$ et qui soit par conséquent de la même forme $\mathrm {P} \sin(\mathrm {N} t+p),$ puisqu’on sait que tous les termes qui ont le même argument $\mathrm {N} t$ sont réductibles à un seul de cette forme ; ce terme deviendra

$i\mathrm {P} \cos(\mathrm {N} t+p)$

dans ${\frac {d^{2}\Omega }{ndtd\mathrm {X} }},$ et le produit des deux termes sera

$-{\frac {i\mathrm {P} ^{2}\sin 2(\mathrm {N} t+p)}{2\mathrm {N} ^{2}}},$

et par conséquent périodique.

On peut conclure de là que, dans les ellipses variables que les planètes peuvent être censées décrire autour du centre commun de gravité du Soleil et des planètes, les grands axes ne peuvent être sujets à des variations non périodiques, tant qu’on n’a égard qu’aux termes proportionnels aux masses et à leurs carrés ou produits de deux dimensions ; que par conséquent leurs mouvements moyens ne sauraient contenir des inégalités croissant comme les carrés des temps.

Mais, quand on connaît le mouvement d’une planète autour du centre commun de gravité, il est facile d’avoir son mouvement rapporté au Soleil ; car les coordonnées relatives à ce mouvement ne sont que les différences de celles de la planète et de celles du Soleil. Ainsi, $x,y,z$ étant les coordonnées de la planète et $\mathrm {X,Y,Z}$ celles du Soleil, on aura

$x-\mathrm {X} ,\quad y-\mathrm {Y} ,\quad z-\mathrm {Z}$

pour les coordonnées de la planète rapportées au Soleil. Or les équations données ci-dessus (14) pour le centre de gravité donnent

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&-mx-m'x'-m''x''-\ldots ,\\\mathrm {Y} =&-my\,-m'y'\,-m''y''-\ldots ,\\\mathrm {Z} =&-mz\ -m'z'\,-m''z''-\ldots .\end{aligned}}$