Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/74

par rapport à la Lune. En effet, si l’on suppose d’abord

$\mathrm {Q} =0,\quad \mathrm {R} =0,\quad p=0,$

l’équation $(a)$ devient

${\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u-{\frac {\mathrm {F} }{c^{2}}}=0,$

dont l’intégrale, étant mise sous cette forme

$u-{\frac {\mathrm {F} }{c^{2}}}=\rho \cos(\varphi -\alpha ),$

donne une ellipse dans laquelle ${\frac {c^{2}}{\mathrm {F} }}$ est le demi-paramètre, ${\frac {\rho c^{2}}{\mathrm {F} }}$ l’excentricité, et $\alpha$ la longitude de l’apside inférieure. Qu’on regarde maintenant $\rho$ et $\alpha$ comme variables, et qu’on suppose, par une raison analogue à celle que nous avons expliquée ci-dessus,

$du=-\rho \sin(\varphi -\alpha )d\varphi ,$

on trouvera

$d\rho \cos(\varphi -\alpha )+\rho \sin(\varphi -\alpha )d\alpha =0,$

${\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u-{\frac {\mathrm {F} }{c^{2}}}={\frac {\rho d\alpha }{\cos(\varphi -\alpha )d\varphi }}.$

Ainsi l’équation $(a)$ se réduira à deux équations du premier degré, d’où l’on tirera aisément $\rho$ et $\alpha .$

IV.

Les observations nous apprennent que les inégalités des mouvements des satellites de Jupiter sont très-petites, aussi bien que les inclinaisons de leurs orbites, par rapport à l’orbite de cette Planète ; d’où il suit que, si l’on nomme $a$ la valeur moyenne de $r,$ $\mu$ la valeur moyenne de ${\frac {d\varphi }{dt}},$ c’est-à-dire la vitesse angulaire moyenne, et qu’on dénote par $n$ un coefficient très-petit, et par $x,y,z$ des quantités variables, on aura les expressions suivantes

$r=a(1+nx),\quad \varphi =\mu t+ny,\quad p=nz,$