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même expression de $p,$ et supposons, à cause des forces perturbatrices $\lambda ,$ et $\varepsilon$ variables ; on aura

$dp=d\lambda \sin(\varphi -\varepsilon )+\lambda \cos(\varphi -\varepsilon )(d\varphi -d\varepsilon ).$

Or, afin que le corps puisse être regardé comme se mouvant réellement dans le plan déterminé par $\lambda$ et $\varepsilon ,$ il faut que la valeur de $dp$ soit la même que si ces quantités demeuraient constantes, c’est-à-dire, que

$dp=\lambda \cos(\varphi -\varepsilon )d\varphi \,;$

donc

$d\lambda \sin(\varphi -\varepsilon )=\lambda \cos(\varphi -\varepsilon )d\varepsilon \,;$

par conséquent, à cause de $d\varphi$ constant,

${\frac {d^{2}p}{d\varphi ^{2}}}=-\lambda \sin(\varphi -\varepsilon )+{\frac {\lambda d\varepsilon }{\sin(\varphi -\varepsilon )d\varphi }},$

et

${\frac {d^{2}p}{d\varphi ^{2}}}+p={\frac {\lambda d\varepsilon }{\sin(\varphi -\varepsilon )d\varphi }},$

On réduira ainsi l’équation $(c)$ ci-dessus à deux équations du premier degré, qui donneront $\lambda$ et $\varepsilon$ en $\varphi \,;$ d’où l’on connaîtra la variation de l’inclinaison de l’orbite et le mouvement de la ligne des nœuds. C’est ainsi que la plupart des Géomètres en ont usé jusqu’ici dans la recherche des orbites des Planètes ; mais il nous paraît plus court de chercher directement la latitude $p$ par une seule équation, d’autant plus que les quantités $\lambda$ et $\varepsilon$ s’en déduiront plus aisément ; car, puisque

$p=\lambda \sin(\varphi -\varepsilon ),\quad {\frac {dp}{d\varphi }}=\lambda \cos(\varphi -\varepsilon ),$

on aura

$\lambda ={\sqrt {p^{2}+{\frac {dp^{2}}{d\varphi ^{2}}}}},\quad \operatorname {tang} (\varphi -\varepsilon )={\frac {pd\varphi }{dp}}.$

On pourrait faire une pareille transformation sur l’équation $(a)\,;$ ce qui réduirait l’orbite à une ellipse dont l’excentricité et la position de la ligne des apsides seraient variables, ainsi que M. Newton l’a pratiqué