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compliquées. Heureusement j’ai trouvé une combinaison de ces équations qui conduit à des résultats simples et très-remarquables, et que je vais exposer.

4. Je retranche la première équation multipliée par ${\frac {d^{2}x}{dtda}}$ de la seconde multipliée par ${\frac {dx}{da}}\,;$ j’ai

${\frac {d\Omega }{dx}}{\frac {dx}{da}}dt=\mathrm {A} db+\mathrm {B} dc+\mathrm {C} df+\mathrm {D} dg+\mathrm {E} dh,$

en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&{\frac {dx}{da}}{\frac {d^{2}x}{dtdb}}-{\frac {dx}{db}}{\frac {d^{2}x}{dtda}},\\\mathrm {B} =&{\frac {dx}{da}}{\frac {d^{2}x}{dtdc}}-{\frac {dx}{dc}}{\frac {d^{2}x}{dtda}},\\\mathrm {C} =&{\frac {dx}{da}}{\frac {d^{2}x}{dtdf}}-{\frac {dx}{df}}{\frac {d^{2}x}{dtda}},\\\mathrm {D} =&{\frac {dx}{da}}{\frac {d^{2}x}{dtdg}}-{\frac {dx}{dg}}{\frac {d^{2}x}{dtda}},\\\mathrm {E} =&{\frac {dx}{da}}{\frac {d^{2}x}{dtdh}}-{\frac {dx}{dh}}{\frac {d^{2}x}{dtda}}.\end{aligned}}$

Mais, pour mieux conserver la signification de ces formules, nous emploierons à la place des lettres $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ les symboles $(x,a,b),$ $(x,a,c),(x,a,f),\ldots \,;$ ainsi l’expression

${\frac {dx}{db}}{\frac {d^{2}x}{dtda}}-{\frac {dx}{da}}{\frac {d^{2}x}{dtdb}}$

sera représentée par $(x,b,a),$ parce qu’elle ne diffère de celle de $\mathrm {A}$ que par l’échange des lettres $a,b\,;$ et, comme elle est égale à $-\mathrm {A} ,$ il s’ensuit que l’on aura

$(x,b,a)=-(x,a,b).$

Donc, en général, l’échange des lettres qui suivent la lettre $x$ ne fera que rendre la quantité négative ; et l’on voit aussi que $(x,a,a)=0.$