Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/673

Enfin, si $\mathrm {B=A} ,$ on aura $\operatorname {tang} \psi =0\,;$ donc $\psi =0$ et

$\omega ={\frac {\varphi }{2}}+\alpha ={\frac {bt+\beta +\alpha }{2}}\,;$

et si $\mathrm {B=-A} ,$ on aura $\operatorname {tang} \psi =\infty \,;$ donc $\psi =90^{\circ },$ et

$\omega =90^{\circ }+{\frac {bt+\beta +\alpha }{2}}.$

36. On peut encore trouver la valeur de l’angle $\omega$ par le moyen de sa tangente, sans employer aucune différentiation ni intégration. En effet on a, comme l’on sait,

${\begin{aligned}2\omega {\sqrt {-1}}&=\log e^{\omega {\sqrt {-1}}}-\log e^{-\omega {\sqrt {-1}}}\\&=\log \left(\cos \omega +\sin \omega {\sqrt {-1}}\right)-\log \left(\cos \omega -\sin \omega {\sqrt {-1}}\right)\\&=\log {\frac {\cos \omega +\sin \omega {\sqrt {-1}}}{\cos \omega -\sin \omega {\sqrt {-1}}}}=\log {\frac {1+\operatorname {tang} \omega {\sqrt {-1}}}{1-\operatorname {tang} \omega {\sqrt {-1}}}}\,;\end{aligned}}$

qu’on substitue donc dans cette formule la valeur de $\operatorname {tang} \psi ,$ en faisant, pour abréger,

$bt+\beta =\zeta ,$

on aura

${\begin{aligned}\omega =&{\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\log \mathrm {\frac {A\left(\cos \alpha +\sin \alpha {\sqrt {-1}}\right)+B\left(\cos \zeta +\sin \zeta {\sqrt {-1}}\right)}{A\left(\cos \alpha -\sin \alpha {\sqrt {-1}}\right)+B\left(\cos \zeta -\sin \zeta {\sqrt {-1}}\right)}} \\=&{\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\log {\frac {\mathrm {A} e^{\alpha {\sqrt {-1}}}+\mathrm {B} e^{\zeta {\sqrt {-1}}}}{\mathrm {A} e^{-\alpha {\sqrt {-1}}}+\mathrm {B} e^{-\zeta {\sqrt {-1}}}}}.\end{aligned}}$

Supposons d’abord $\mathrm {B>A} \,;$ on mettra la valeur de $\omega$ sous cette forme

${\begin{aligned}\omega =&{\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\log {\frac {e^{\zeta {\sqrt {-1}}}\left[1+\mathrm {\cfrac {A}{B}} e^{(\alpha -\zeta ){\sqrt {-1}}}\right]}{e^{-\zeta {\sqrt {-1}}}\left[1+\mathrm {\cfrac {A}{B}} e^{-(\alpha -\zeta ){\sqrt {-1}}}\right]}}\\\\=&\zeta +{\frac {\log \left[1+\mathrm {\cfrac {A}{B}} e^{(\alpha -\zeta ){\sqrt {-1}}}\right]-\log \left[1+\mathrm {\cfrac {A}{B}} e^{-(\alpha -\zeta ){\sqrt {-1}}}\right]}{2{\sqrt {-1}}}}\end{aligned}}$