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me donne le quotient

$x^{n-1}+(a+\lambda )x^{n-2}+\left(a^{2}+\lambda a+\mu \right)x^{n-3}+\left(a^{3}+\lambda a^{2}+\mu a+\nu \right)x^{n-4}+\ldots$

$+\left(a^{n-1}+\lambda a^{n-2}+\mu a^{n-3}+\nu a^{n-4}+\ldots \right)=0.$

Cette équation n’aura donc plus pour racines que les $n-1$ quantités $b,c,\ldots$ de sorte que son premier membre ne deviendra égal à zéro qu’en faisant $x=b,$ ou $x=c,$ ou … ; mais, en faisant $x=a,$ il deviendra

$na^{n-1}+(n-1)\lambda a^{n-2}+(n-2)\mu a^{n-3}+\ldots .$

Si, dans l’équation précédente, on change $a$ en $b$ ou en $c,$ ou … ; on aura une équation qui sera vraie pour toutes les racines, excepté $b,$ ou $c,\ldots .$

Je suppose maintenant que je veuille déterminer les valeurs des $n$ quantités $\mathrm {A} \sin \alpha ,\mathrm {B} \sin \beta ,\mathrm {C} \sin \gamma ,\ldots \,;$ je n’aurai qu’à prendre les $n$ équations

${\begin{aligned}\mathrm {S} \quad =&\quad \mathrm {A} \sin \alpha +\quad \mathrm {B} \sin \beta +\quad \mathrm {C} \sin \gamma +\ldots ,\\\mathrm {S} ^{(1)}=&a\ \ \mathrm {A} \sin \alpha +b\ \,\mathrm {B} \sin \beta \,+c\,\ \mathrm {C} \sin \gamma \,+\ldots ,\\\mathrm {S} ^{(2)}=&a^{2}\,\mathrm {A} \sin \alpha +b^{2}\mathrm {B} \sin \beta +c^{2}\mathrm {C} \sin \gamma +\ldots ,\end{aligned}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

$\mathrm {S} ^{(n-1)}=a^{n-1}\mathrm {A} \sin \alpha +b^{n-1}\mathrm {B} \sin \beta +c^{n-1}\mathrm {C} \sin \gamma +\ldots ,$

et les ajouter ensemble après les avoir multipliées respectivement par les coefficients de l’équation ci-dessus pris à rebours, c’est-à-dire, en commençant par le dernier

$a^{n-1}+\lambda a^{n-2}+\ldots .$

Il s’ensuit de ce que nous avons dit sur la nature de cette équation que le coefficient de la quantité $\mathrm {A} \sin \alpha$ deviendra

$na^{n-1}+(n-1)\lambda a^{n-2}+(n-2)\mu a^{n-3}+\ldots ,$

et que les coefficients des autres quantités $\mathrm {B} \sin \beta ,\mathrm {C} \sin \gamma ,\ldots$ deviendront tous nuls à la fois ; de sorte que, divisant toute l’équation par le