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peut se réduire à une expression de cette forme

$(r,r_{1})+(r,r_{1})_{1}\cos(q-q_{1})+(r,r_{1})_{2}\cos 2(q-q_{1})+(r,r_{1})_{3}\cos 3(q-q_{1})+\ldots ,$

où les coefficients $(r,r_{1}),(r,r_{1})_{1},(r,r_{1})_{2}s,(r,r_{1})_{3},\ldots$ sont des fonctions de $r$ et $r_{1},$ qu’on peut trouver par différentes méthodes connues ; de même la quantité

$\left[r^{2}-2rr_{2}\cos(q-q_{2})+r_{2}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}$

se réduira à la série

$(r,r_{2})+(r,r_{2})_{1}\cos(q-q_{2})+(r,r_{2})_{2}\cos 2(q-q_{2})+(r,r_{2})_{3}\cos 3(q-q_{2})+\ldots ,$

et ainsi des autres quantités semblables.

Donc, si l’on fait ces substitutions dans les deux équations ci-dessus, et qu’on sépare les termes qui contiennent les variables $s$ et $u,$ sans aucun sinus ou cosinus, de ceux où ses mêmes variables sont multipliées par des sinus ou cosinus, on aura deux équations de cette forme

${\begin{aligned}{\frac {ds}{dt}}+{\frac {\mathrm {T} _{1}r_{1}(r,r_{1})_{1}}{4\mu r}}(u-u_{1})+&{\frac {\mathrm {T} _{2}r_{2}(r,r_{2})_{1}}{4\mu r}}(u-u_{2})+\ldots +\Pi =0,\\{\frac {du}{dt}}+{\frac {\mathrm {T} _{1}r_{1}(r,r_{1})_{1}}{4\mu r}}(s-s_{1})-&{\frac {\mathrm {T} _{2}r_{2}(r,r_{2})_{1}}{4\mu r}}\ (s-s_{2})+\ldots +\Psi =0,\end{aligned}}$

dans lesquelles les quantités $\Pi$ et $\Psi$ dénotent la totalité des termes qui contiennent les variables $u$ et $s$ mêlées avec des sinus ou cosinus.

On aura des équations semblables pour chacun des autres corps $\mathrm {T_{1},T_{2}} ,\ldots \,;$ il n’y aura pour cela qu’à marquer de l’indice $1,$ ou $2,\ldots$ les lettres qui n’en ont aucun, et d’effacer en même temps ceux des lettres qui sont marquées à la fois de l’indice $1$ ou $2,\ldots .$

15. Pour intégrer les équations précédentes, on commencera par négliger les quantités $\Pi$ et $\Psi ,$ et l’on aura des équations linéaires en $u,s,$ $u_{1},s_{1},\ldots ,$ qu’on pourra intégrer par les méthodes connues ; ensuite on substituera, si l’on veut, ces premières valeurs de $u,s,u_{1},\ldots$ dans les différents termes des quantités $\Pi$ et $\Psi ,$ et l’on intégrer derechef, et ainsi de suite ; or, comme dans les quantités $\Pi$ et $\Psi$ il n’y a aucun terme