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Article II. — Application des formules précédentes à la recherche du mouvement des nœuds et des variations des inclinaisons des orbites des planète.

10. Il faut commencer par chercher les valeurs des forces $\mathrm {X,Y,Z} ,$ qui agissent sur une planète quelconque $\mathrm {T} ,$ en vertu de l’attraction du Soleil $\mathrm {S} ,$ et des autres planètes $\mathrm {T_{1},T_{2}} ,\ldots .$ Pour cela nous regarderons le Soleil comme immobile, et nous le prendrons pour l’origine des coordonnées qui déterminent la position de chaque planète par rapport à l’écliptique ; nous nommerons ces coordonnées $x,y,z$ pour la planète $\mathrm {T} \,;$ $x_{1},y_{1},z_{1}$ pour la planète $\mathrm {T} _{1}\,;$ $x_{2},y_{2},z_{2}$ pour la planète $\mathrm {T} _{2},$ et ainsi des autres, et nous désignerons, pour plus de simplicité, les distances de ces planètes au Soleil par $\mathrm {(TS),(T_{1}S)} ,$ $\mathrm {(T_{2}S)} ,\ldots ,$ et celles des mêmes planètes entre elles par $\mathrm {(TT_{1}),(TT_{2})} ,$ $\mathrm {(T_{1}T_{2})} ,\ldots ,$ de sorte que l’on aura

${\begin{aligned}&(\mathrm {T\ S} )\,={\sqrt {x^{2}\ +y^{2}\ +z^{2}\ }},\\&(\mathrm {T_{1}S} )={\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}},\\&(\mathrm {T_{2}S} )={\sqrt {x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&(\mathrm {T\ T_{1}} )\,={\sqrt {(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}+(z-z_{1})^{2}}},\\&(\mathrm {T\ T_{2}} )\,={\sqrt {(x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}+(z-z_{2})^{2}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&(\mathrm {T_{1}T_{2}} )={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

11. Cela posé, le corps $\mathrm {T}$ étant attiré vers les corps $\mathrm {S,T_{1},T_{2}} ,\ldots$ par les forces d’attraction

$\mathrm {{\frac {S}{(TS)^{2}}},\quad {\frac {T_{1}}{(TT_{1})^{2}}},\quad {\frac {T_{2}}{(TT_{2})^{2}}}} ,\ldots ,$

si l’on décompose ces forces suivant les directions des trois lignes $x,y,z$