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Pour faire usage des équations précédentes, il n’y aura qu’à y substituer à la palace des quantités $x,y,z$ leurs valeurs

$r\cos q,\quad r\sin q,\quad ru\sin q-rs\cos q\,;$

et, comme dans la recherche du mouvement des nœuds et de la variation de l’inclinaison on peut regarder l’orbite projetée sur l’écliptique comme déjà connue, du moins à très-peu près, les quantités $r$ et $q$ seront données en $t,$ et il ne restera d’inconnues que $s$ et $u.$

Il est bon de remarquer encore, à l’égard de la quantité $\mathrm {R} ,$ qu’elle est égale à ${\frac {r^{2}dq}{dt}},$ qui est ce que devient la quantité ${\frac {xdy-ydx}{dt}},$ en y substituant, pour $x$ et $y,$ leurs valeurs ci-dessus, de sorte qu’on pourra regarder aussi cette quantité $\mathrm {R}$ comme déjà connue.

9. Tous les Géomètres qui se sont occupés, jusqu’à présent, de la recherche du mouvement des nœuds et des variations de l’inclinaison des orbites planétaires, ont cherché immédiatement les valeurs de la tangente $\theta$ et de l’angle $\omega \,;$ leurs formules sont faciles à déduire des précédentes, mais nous ne nous y arrêterons pas, parce que d’un côté elles sont très-connues, et que de l’autre elles sont peu propres à la recherche dont il s’agit lorsqu’il est question de déterminer à la fois les mouvements des nœuds et des variations des inclinaisons de plusieurs planètes qui s’attirent mutuellement. [Voir plus bas (23).] C’est par cette raison que, dans les essais que j’ai donnés ailleurs sur la Théorie des satellites de Jupiter et de Saturne, j’ai fait abstraction des nœuds et des inclinaisons des orbites, et je n’ai considéré que les tangentes de la latitude^[1] ; mais la méthode que nous proposons ici est préférable, parce qu’elle conduit à des équations beaucoup plus simples et plus faciles à résoudre.

1. Œuvres de Lagrange, t. I, p. 609, et t. VI, p. 67.