Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/642

ce qui, étant substitué dans l’équation

$\mathrm {P} x-\mathrm {Q} y+\mathrm {R} z=0$

donnera celle-ci

$\mathrm {P} \cos q-\mathrm {Q} \sin q+\mathrm {R} p=0,$

laquelle servira à déterminer $p.$

Si, de plus, on met dans cette équation pour $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ leurs valeurs $\mathrm {R} \theta \sin \omega ,\mathrm {R} \theta \cos \omega$ (6), on aura, en divisant par $\mathrm {R}$ et réduisant,

$p=\theta \sin(q-\omega ),$

équation qu’on peut aussi tirer immédiatement de la Trigonométrie sphérique.

8. Pour rendre nos formules plus simples et plus commodes pour le calcul, nous ferons

$s=\theta \sin \omega ,\quad u=\theta \cos \omega ,$

ce qui donnera (numéro précédent)

$p=u\sin q-s\cos q,$

et les deux équations du n^o 6 deviendront

$\mathrm {R} s=\mathrm {P} ,\quad \mathrm {R} u=\mathrm {Q} ,$

lesquelles étant différentiées pour faire disparaître les intégrations des quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ deviendront celles-ci

${\begin{aligned}\mathrm {R} \,{\frac {ds}{dt}}+{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\,s=&\mathrm {Y} z-\mathrm {Z} y,\\\mathrm {R} {\frac {du}{dt}}+{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}u=&\mathrm {X} z-\mathrm {Z} x,\end{aligned}}$

équations qui serviront à déterminer les deux variables $s$ et $u,$ d’où dépend la solution du Problème. En effet, ces deux quantités étant connues, on aura sur-le-champ le lieu du nœud et l’inclinaison par les formules

$\operatorname {tang} \omega ={\frac {s}{u}},\quad \theta ={\sqrt {s^{2}+u^{2}}}.$