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stantes, pendant que les quantités $r$ et $u$ varient de $dr$ et $du\,;$ car, comme

${\frac {f^{2}}{\mathrm {M} r}}=1-e\sin \mathrm {I} \sin u-e\cos \mathrm {I} \cos u,$

il suffit de démontrer que la différentielle de cette équation est nulle, en ne faisant varier que les deux quantités $e\sin \mathrm {I} ,e\cos \mathrm {I} \,;$ c’est-à-dire, que

$\sin .d(e\sin \mathrm {I} )+\cos .d(e\cos \mathrm {I} )=0\,;$

mais

$d(e\sin \mathrm {I} )=-{\text{☊}}du\cos u,\quad {\text{et}}\quad d(e\cos \mathrm {I} )={\text{☊}}du\sin u,$

donc, etc. Je fais donc

$x=e\sin \mathrm {I} ,\quad y=e\cos \mathrm {I} \,;$

j’ai

${\frac {f^{2}}{\mathrm {M} r}}=1-x\sin u-y\cos u,$

et ensuite j’ai, en différentiant, les équations

$dx=-{\text{☊}}\cos udu,\quad dy={\text{☊}}\sin udu\,;$

si l’on substitue, dans ces équations et dans les autres semblables, les valeurs de $r$ et de $u$ en $x,y$ et $t,$ et que l’on ne conserve que les termes où $x,y,$ $x',y',\ldots$ seront linéaires et multipliés par des coefficients constants, on aura les équations cherchées ; il faut seulement avoir soin de ne pas rejeter, dans la quantité ${\text{☊}},$ les termes de la forme

$\int x\sin udu,\quad \int x\cos udu,\quad \int y\sin udu,\quad \int y\cos udu,$

et les autres semblables ; car ces termes, étant transformés en $x\cos u+\int dx\cos u,\ldots ,$ produiront, dans les équations différentielles, des termes de la forme demandée ; à l’égard des quantités $\int dx\cos u,\ldots ,$ on pourra les négliger entièrement, parce que $dx$ est déjà très-petit de l’ordre des masses des planètes perturbatrices.