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2^o Lorsqu’on fera usage de la série des différences de la méthode, il n’y aura d’autres changements à faire aux procédés qu’on vient d’enseigner, sinon qu’à la place de la somme $\mathrm {S+(R)}$ on prendra la différence $\mathrm {S-(R)}$ pour avoir une série de la même nature que la primitive, et susceptible des mêmes opérations ; et qu’ensuite à la place de la différence $\mathrm {R-(R)} x^{\rho }$ il faudra prendre la somme $\mathrm {R+(R)} x^{\rho },$ qu’on divisera par $1+x,$ pour avoir le polynôme réciproque $\mathrm {P} .$

3^o Dans le cas où l’on emploie la nouvelle méthode et où l’on veut opérer sur la série des sommes, on suivra encore les mêmes procédés, si ce n’est qu’on prendra $\mathrm {S+(R)} x$ pour la série qui doit être de même nature que la primitive et qui doit fournir la fraction en $y,$ $\mathrm {\frac {V}{Y}} \,;$ et qu’ensuite, pour avoir le polynôme réciproque $\mathrm {P} ,$ on prendra le polynôme $\mathrm {R-(R)} x^{\rho +1},$ qu’on divisera par $1-x^{2}.$

4^o Enfin, lorsqu’il s’agira de la série des différences de la même méthode, il faudra prendre pour $(\mathrm {R} )$ le polynôme réciproque de $\mathrm {R}$ diminué de son dernier terme, c’est-à-dire, le polynôme réciproque de celui qui est formé par les $\rho -2$ premiers termes de la série après qu’elle aura été multipliée par $\Pi \,;$ ensuite on procédera comme ci-dessus (2^o), avec cette seule différence qu’il faudra prendre immédiatement $\mathrm {P+(R)} x^{\rho }$ pour le polynôme $\mathrm {P} .$

Nous ne nous étendrons pas davantage sur cette matière, et nous ne chercherons pas non plus à l’éclaircir par des Exemples, parce que cela nous mènerait trop loin, et que d’ailleurs elle ne doit plus être sujette à aucune difficulté, après tout ce que nous avons démontré dans le cours de ce Mémoire.

Remarque V.

47. Au reste, quoique les méthodes exposées ci-dessus soient principalement destinées pour les séries composées de sinus et de cosinus d’angles, elles peuvent néanmoins être appliquées, en général, à toutes sortes de séries récurrentes ; et il suffit pour cela de remarquer que, lorsque parmi les racines, $\varpi ,\rho ,\sigma ,\ldots$ qu’on a supposées égales à $2\cos \alpha ,$