Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/617

$4{,}1383338,$ on aura l’équation du temps en secondes de temps, comme nous l’avons employée dans les Exemples ci-dessus.

Je commence par chercher la valeur de $t,$ et, pour y parvenir d’une manière générale, je remarque que l’on a

${\frac {dy}{1-n\cos y}}+d\left({\frac {n\sin y}{1-n\cos y}}\right)={\frac {\left(1-n^{2}\right)dy}{(1-n\cos y)^{2}}}\,;$

d’où il s’ensuit que

$\int {\frac {\left(1-n^{2}\right)^{\frac {2}{3}}dy}{(1-n\cos y)^{2}}}=\int {\frac {{\sqrt {1-n^{2}}}dy}{1-n\cos y}}+{\frac {n{\sqrt {1-n^{2}}}\sin y}{1-n\cos y}}.$

Or on sait que la fraction ${\frac {\sqrt {1-n^{2}}}{1-n\cos y}}$ se réduit en une série de la forme

$1+2\mathrm {K} \cos y+2\mathrm {K} ^{2}\cos 2y+2\mathrm {K} ^{3}\cos 3y+\ldots ,$

en faisant, pour abréger,

$\mathrm {K} ={\frac {1-{\sqrt {1-n^{2}}}}{n}}\,;$

ainsi l’on aura

1^o En multipliant par $dy,$ et intégrant,

$\int {\frac {{\sqrt {1-n^{2}}}dy}{1-n\cos y}}=y+2\mathrm {K} \sin y+{\frac {2\mathrm {K} ^{2}}{2}}\sin 2y+{\frac {2\mathrm {K} ^{3}}{3}}\sin 3y+\ldots \,;$

2^o En multipliant par $n\sin y,$

${\frac {n{\sqrt {1-n^{2}}}\sin y}{1-n\cos y}}=n\left(1-\mathrm {K} ^{2}\right)\left(\sin y+\mathrm {K} \sin 2y+\mathrm {K} ^{2}\sin 3y+\ldots \right)\,;$

donc, réunissant ces deux séries, on aura

${\begin{aligned}y+\left[2\mathrm {K} +n\left(1-\mathrm {K} ^{2}\right)\right]\sin y&+\left[{\frac {2\mathrm {K} }{2}}+n\left(1-\mathrm {K} ^{2}\right)\right]\mathrm {K} \sin 2y\\&+\left[{\frac {2\mathrm {K} }{3}}+n\left(1-\mathrm {K} ^{2}\right)\right]\mathrm {K} ^{2}\sin 3y+\ldots \end{aligned}}$

pour la valeur de l’intégrale $\int {\frac {\left(1-n^{2}\right)^{\frac {3}{2}}dy}{(1-n\cos y)^{2}}}.$

Maintenant il est visible que l’on aura la valeur de la longitude