à très-peu près ; donc, en négligeant les carrés et les puissances plus hautes de
aussi bien que leurs produits, on aura
![{\displaystyle {\frac {y-\mathrm {Y} }{\sqrt {(x-\mathrm {X} )^{2}+(y-\mathrm {Y} )^{2}}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64bb79e3d3e8f309e097dd34c9f93073a54b922)
![{\displaystyle {\frac {y}{\rho }}-{\frac {\mathrm {Y} }{\rho }}+{\frac {xy\mathrm {X} }{\rho ^{3}}}+{\frac {y^{2}\mathrm {Y} }{\rho ^{3}}}=\sin \nu +\cos \nu \mathrm {\frac {X\sin \nu -Y\cos \nu }{\rho }} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c0feb0626ac1f9203f02fe348100cd866221e26)
en mettant
et
au lieu de
par conséquent, si l’on fait
![{\displaystyle \sin \mathrm {U} =\sin \nu -\mathrm {S} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ba96c1ba44c634378a5ad812d94032f852cb86)
on aura l’équation
(1)
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On trouvera de la même manière
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {z-\mathrm {Z} }{\sqrt {(x-\mathrm {X} )^{2}+(y-\mathrm {Y} )^{2}}}}=&{\frac {z}{\rho }}-{\frac {\mathrm {Z} }{\rho }}+{\frac {zx\mathrm {X} }{\rho ^{3}}}+{\frac {zy\mathrm {Y} }{\rho ^{3}}}\\=&\lambda -{\frac {\mathrm {Z} }{\rho }}+{\frac {\lambda }{\rho }}\mathrm {\left(X\cos \nu +Y\sin \nu \right)} \\=&\lambda -l\ \mathrm {(hypoth{\grave {e}}se} )\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e79bbde10aed33fe5e62662a4a99675eb9c31c1)
ce qui donnera
(2)
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Il faut tirer de ces deux équations les valeurs de
et pour cela on remarquera que,
étant le rayon de la Lune, on aura
![{\displaystyle \mathrm {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}} =r^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdd513524fe5d48a47b38546407d55d3f7aeced4)
et que
![{\displaystyle \mathrm {(Y\cos \nu -X\sin \nu )^{2}+(X\cos \nu +Y\sin \nu )^{2}=X^{2}+Y^{2}} =r^{2}-\mathrm {Z} ^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6daf5719cd3786aeb2a230028c3cef9312160b)
on aura donc
![{\displaystyle r^{2}-\mathrm {Z} ^{2}={\frac {(\mathrm {Z} -\rho l)^{2}}{\lambda ^{2}}}+{\frac {\rho ^{2}\mathrm {S} ^{2}}{\cos ^{2}\nu }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/795ffdf395b1698d3d547c05b5fa16ee9dd73ef9)