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pour cela, mais celui que je vais employer me paraît tout à la fois le plus simple et le plus exact ; il est fondé sur cette considération que, si l’on cherche les valeurs des angles $a$ et $b$ pour des termes de la même série, assez distants entre eux, et qu’on nomme, par exemple, $a',b'$ les valeurs de $a,b$ pour le terme $\mathrm {T} ^{(\lambda )}$ pris à la place de $\mathrm {T} ,$ et $a'',b''$ les valeurs de $a,b$ pour le terme $\mathrm {T} ^{(\mu )}$ pris de même à la place de $\mathrm {T} ,$ on aura nécessairement

$a'=a+\lambda \alpha ,\quad b'=b+\lambda \beta ,$

et de même

$a''=a+\mu \alpha ,\quad b''=b+\mu \beta \,;$

donc

$a''-a'=(\mu -\lambda )\alpha ,\quad b''-b'=(\mu -\lambda )\beta \,;$

et de là

$\alpha ={\frac {a''-a'}{\mu -\lambda }},\quad \beta ={\frac {b''-b'}{\mu -\lambda }}\,;$

d’où l’on voit que les erreurs qui pourront se trouver dans les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ ne seront qu’à la $(\mu -\lambda )$^ième partie de celles des valeurs de $a',a''\,;\ b',b''\,;$ ainsi l’exactitude de ces déterminations sera d’autant plus grande que le nombre $\mu -\lambda$ sera plus grand, c’est-à-dire, que la distance entre les termes $\mathrm {T} ^{(\lambda )}$ et $\mathrm {T} ^{(\mu )}$ sera plus grande.

Pour trouver les valeurs de $a',b'$ et de $a'',b'',$ il faudra faire un double calcul, en suivant l’une des deux méthodes ci-dessus ; et il sera bon de préférer la seconde, qui est en quelque manière plus simple. D’ailleurs il ne sera pas nécessaire de faire le calcul en entier, comme dans l’Exemple II, en opérant successivement sur les deux séries ; mais il suffira d’opérer sur la série des sommes, et d’en déduire les valeurs de $\mathrm {F}$ et de $\mathrm {G} \,:$ car, comme les coefficients $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont déjà connus, on peut s’en servir pour trouver les valeurs de $\operatorname {tang} a$ et $\operatorname {tang} b,$ sans connaître celles de $(\mathrm {F} )$ et de $(\mathrm {G} )\,;$ en effet on aura, par les formules de la seconde méthode (n^o 40),

$\operatorname {tang} a=\mathrm {\frac {F}{\sqrt {A^{2}-F^{2}}}} ,\quad \operatorname {tang} b=\mathrm {\frac {G}{\sqrt {B^{2}-G^{2}}}} \,;$

d’où l’on tire

$\sin a=\mathrm {\frac {F}{A}} ,\quad \sin b=\mathrm {\frac {G}{B}} .$