Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/581

d’où l’on tirera aisément l’expression du terme général $\mathrm {T} ^{(m)}$ comme dans la solution précédente.

Dans le second cas, la série

$t+t'x+t''x^{2}+t'''x^{3}+\ldots ,$

étant multipliée par $1-x^{2}$ et ensuite ajoutée à la série

$(t)+(t')x+(t'')x^{2}+(t''')x^{3}+\ldots$

multipliée par $x,$ donnera celle-ci

$\mathrm {T} +2\mathrm {T} 'x+2\mathrm {T} ''x^{2}+2\mathrm {T} '''x^{3}+\ldots ,$

en sorte que l’on aura

${\frac {\mathrm {T} }{2}}+\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\mathrm {T} '''x^{3}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots =$

${\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {F} +(\mathrm {F} )x-\mathrm {F} x^{2}}{1-2x\cos \alpha +x^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {G} +(\mathrm {G} )x-\mathrm {G} x^{2}}{1-2x\cos \beta +x^{2}}}+\ldots .$

Or, si l’on fait dans cette équation $x=0,$ on a

$\mathrm {{\frac {T}{2}}={\frac {F}{2}}+{\frac {G}{2}}} +\ldots .$

Donc, ajoutant cette équation à celle-là, il viendra

$\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\mathrm {T} '''x^{3}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots =$

${\frac {\mathrm {F} +\mathrm {\left[{\frac {1}{2}}(F)-F\cos \alpha \right]} x}{1-2x\cos \alpha +x^{2}}}+{\frac {\mathrm {G} +\mathrm {\left[{\frac {1}{2}}(G)-G\cos \beta \right]} x}{1-2x\cos \beta +x^{2}}}+\ldots .$

d’où il est facile de trouver, pour le terme général $\mathrm {T} ^{(m)},$ l’expression

$\mathrm {F} \cos m\alpha +{\frac {(\mathrm {F} )}{2\sin \alpha }}\sin m\alpha +\mathrm {G} \cos m\beta +{\frac {(\mathrm {G} )}{2\sin \beta }}\sin m\beta +\ldots ,$

qu’on réduira aisément à la forme

$\mathrm {A} \sin(a+m\alpha )+\mathrm {B} \sin(b+m\beta )+\ldots ,$

en faisant

${\begin{array}{ll}\operatorname {tang} a=\mathrm {\cfrac {2F\sin \alpha }{(F)}} ,&\mathrm {A} =\mathrm {\sqrt {F^{2}+{\cfrac {(F)^{2}}{4\sin ^{2}\alpha }}}} ,\\\operatorname {tang} b=\mathrm {\cfrac {2G\sin \beta }{(G)}} ,&\mathrm {B} =\mathrm {\sqrt {G^{2}+{\cfrac {(G)^{2}}{4\sin ^{2}\beta }}}} ,\\\end{array}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .$