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fractions partielles

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {F} }{1-2y\cos \alpha }}&+{\frac {\mathrm {G} }{1-2y\cos \beta }}+{\frac {\mathrm {H} }{1-2y\cos \gamma }}+\ldots ,\\{\frac {(\mathrm {F} )}{1-2y\cos \alpha }}&+{\frac {(\mathrm {G} )}{1-2y\cos \beta }}+{\frac {(\mathrm {H} )}{1-2y\cos \gamma }}+\ldots ,\\\end{aligned}}$

On mettra ensuite dans ces fractions ${\frac {x}{1+x^{2}}}$ à la place de $y,$ et on les divisera par $1+x^{2},$ ce qui les changera en celles-ci

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {F} }{1-2x\cos \alpha +x^{2}}}&+{\frac {\mathrm {G} }{1-2x\cos \beta +x^{2}}}+{\frac {\mathrm {H} }{1-2x\cos \gamma +x^{2}}}+\ldots ,\\{\frac {(\mathrm {F} )}{1-2x\cos \alpha +x^{2}}}&+{\frac {(\mathrm {G} )}{1-2x\cos \beta +x^{2}}}+{\frac {(\mathrm {H} )}{1-2x\cos \gamma +x^{2}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

qui seront par conséquent égales aux séries

$t+t'x+t''x^{2}+t'''x^{3}+\ldots ,$

$(t)+(t')x+(t'')x^{2}+(t''')x^{3}+\ldots .$

Il faut maintenant distinguer deux cas, suivant que ces séries répondent aux séries (E) et (F), ou aux séries (G) et (H) du n^o 26.

Dans le premier cas, il n’est pas difficile de voir que si l’on multiplie la série

$t+t'x+t''x^{2}+t'''x^{3}+\ldots$

par $1-x,$ et la série

$(t)+(t')x+(t'')x^{2}+(t''')x^{3}+\ldots$

par $1+x,$ et qu’on les ajoute ensemble, il en résultera celle-ci

$2\mathrm {T} +2\mathrm {T} 'x+2\mathrm {T} ''x^{2}+2\mathrm {T} '''x^{3}+\ldots .$

On aura donc dans ce cas

$\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\mathrm {T} '''x^{3}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots =$

${\frac {\mathrm {\cfrac {F+(F)}{2}} -\mathrm {\cfrac {F-(F)}{2}} x}{1-2x\cos \alpha +x^{2}}}+{\frac {\mathrm {\cfrac {G+(G)}{2}} -\mathrm {\cfrac {G-(G)}{2}} x}{1-2x\cos \beta +x^{2}}}+\ldots \,;$