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séries transformées (E) et (F), ou bien les deux autres (G) et (H), qu’on représentera, comme dans le numéro cité, de cette manière

$t+t'x+t''x^{2}+t'''x^{3}+t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots ,$

$(t)+(t')x+(t'')x^{2}+(t''')x^{3}+\left(t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)x^{4}+\ldots \,;$

ensuite on transformera, par les formules du n^o 27, ces deux séries dans ces deux-ci

(I)

$\theta +\theta 'y+\theta ''y^{2}+\theta '''y^{3}+\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{4}+\ldots ,$

(K)

$(\theta )+(\theta ')y+(\theta '')y^{2}+(\theta ''')y^{3}+\left(\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)y^{4}+\ldots ,$

et l’on opérera sur l’une ou l’autre de ces deux dernières séries, suivant la méthode de la Proposition $\mathrm {II} ,$ pour trouver sa fraction génératrice, si elle en a une. Cette fraction étant trouvée pour l’une des deux séries dont il s’agit, il sera facile d’avoir la fraction de l’autre série, puisque les deux fractions génératrices doivent avoir le même dénominateur (sur quoi voyez la Remarque I, au n^o 38), car la difficulté ne consistera qu’à trouver le numérateur de la fraction inconnue ; et pour cela il est clair qu’il n’y aura qu’à multiplier la série elle-même par le dénominateur déjà trouvé, et prendre pour numérateur autant des premiers termes de ce produit qu’il y en a dans le dénominateur, moins un, les termes suivants devant d’ailleurs s’évanouir d’eux-mêmes, ce qui peut servir de confirmation à la bonté du calcul.

Connaissant ainsi les fractions génératrices des deux séries (I) et (K), il faudra examiner d’abord si leur dénominateur commun, étant égalé à zéro, donne, en y faisant $y={\frac {1}{3}},$ une équation en $z$ de la même nature que celle du n^o 35, c’est-à-dire, dont les racines soient toutes réelles inégales, et comprises entre les limites $2$ et $-2,$ en sorte qu’on puisse les supposer égales à

$2\cos \alpha ,\quad 2\cos \beta ,\quad 2\cos \gamma ,\ldots ,$

auquel cas on pourrait décomposer les fractions dont il s’agit dans les