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Donc, si l’on remet dans cette expression ${\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}$ à la place de $y,$ et qu’on la divise par $1+x^{2},$ elle deviendra égale et identique à la fraction génératrice de la série donnée (E).

Or il est facile de voir que, par ce moyen, la fraction continue précédente deviendra celle-ci

${\frac {1}{p\left(1+x^{2}\right)+qx+{\cfrac {x^{2}}{p'\left(1+x^{2}\right)+q'x+{\cfrac {x^{2}}{p''\left(1+x^{2}\right)+q''x+\ddots {\frac {x^{2}}{p^{(\mu -1)}\left(1+x^{2}\right)+q^{(\mu -1)}x}}}}}}}}.$

D’où je conclus que la série (E) peut se réduire elle-même aussi en une fraction continue de cette forme, c’est-à-dire, dans laquelle les quotients provenant des divisions successives, au lieu d’être simplement de la forme

$p+qx,\quad p'+q'x,\quad p''+q''x,\ldots ,$

comme dans la Proposition II, soient de la forme,

$p+qx+px^{2},\quad p'+q'x+p'x^{2},\quad p''+q''x+p''x^{2},\ldots \,;$

et comme les termes $px^{2},p'x^{2},p''x^{2},\ldots ,$ dont ces quotients diffèrent de ceux de la Proposition citée, n’influent point, dans l’opération de la division, sur les termes précédents $p+qx,\ p'+q'x,\ldots ,$ il s’ensuit que, pour réduire la série (E) en une fraction continue de la forme ci-dessus, il n’y aura qu’à faire sur cette série les mêmes opérations que dans la Proposition II, avec cette seule différence qu’après avoir trouvé les deux premiers termes de chaque quotient il faudra y ajouter encore le premier terme multiplié par $x^{2},$ et tenir compte ensuite de ce nouveau terme dans la soustraction. De cette manière, l’opération se terminera après $\mu$ divisions, au lieu qu’en employant la méthode de la Proposition II elle exigera $2\mu$ divisions.