Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/566

d’où, en faisant

$\varpi '={\frac {\varpi }{2}}+{\sqrt {{\frac {\varpi ^{2}}{4}}-1}},\quad \rho '={\frac {\rho }{2}}+{\sqrt {{\frac {\rho ^{2}}{4}}-1}},\quad \sigma '={\frac {\sigma }{2}}+{\sqrt {{\frac {\sigma ^{2}}{4}}-1}},\ldots ,$

on aura, pour l’expression du terme général $t^{(m)},$

${\begin{aligned}t^{(m)}&={\frac {\mathrm {F} \varpi '^{2}}{\varpi '^{2}-1}}\varpi ^{'m}-{\frac {\mathrm {F} }{\varpi '^{2}-1}}\varpi ^{'-m}\\&+{\frac {\mathrm {G} \rho '^{2}}{\rho '^{2}\ \ -1}}\rho ^{'m}\ -{\frac {\mathrm {G} }{\rho '^{2}\ -1}}\rho ^{'-m}\\&+{\frac {\mathrm {H} \sigma '^{2}}{\sigma '^{2}\ \ -1}}\sigma ^{'m}\ -{\frac {\mathrm {H} }{\sigma '^{2}\ -1}}\sigma ^{'-m}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Exemple.

29. Soit proposée la série

$1+3x+5x^{2}+6x^{3}+7x^{4}+9x^{5}+11x^{6}+12x^{7}+\ldots \,;$

on trouvera que la transformée sera

$1+3y+6y^{2}+12y^{3}+24y^{4}+48y^{5}+96y^{6}+192y^{7}+\ldots ,$

laquelle, à commencer du second terme, est une progression géométrique dont la raison est $2\,;$ de sorte qu’on aura sur-le-champ la formule

$1+{\frac {3y}{1-2y}},\quad {\text{c'est-à-dire,}}\quad {\frac {1+y}{1-2y}}$

pour la fraction génératrice de cette dernière série ; d’où l’on voit que cette série, quoique du premier ordre seulement, est cependant essentiellement une série du second ordre, mais dans laquelle le coefficient du terme $y^{2}$ dans l’échelle de relation est évanoui (n^o 18) ; de sorte que la série proposée sera nécessairement du quatrième ordre.

En effet, mettant ${\frac {x}{1+x^{2}}}$ à la place de $y$, et divisant ensuite la fraction