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d’où l’on tire réciproquement

${\begin{alignedat}{6}&\theta &=&t,\\&\theta '&=&t',\\&\theta ''&=&t''&+&t,\\&\theta '''&=&t'''&+&2t',\\&\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=&t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&+&3t''&+&\ \ 2t,\\&\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&=&t^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&+&4t'''&+&\ \ 5t',\\&\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}&=&t^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}&+&5t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&+&\ \ 9t''&+&\ \ 5t,\\&\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}&=&t^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}&+&6t^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&+&14t'''&+&14t',\\&\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}&=&t^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}&+&7t^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}&+&20t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&+&28t''&+&14t,\\&\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IX}}}&=&t^{\scriptscriptstyle {\text{IX}}}&+&8t^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}&+&27t^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&+&48t'''&+&42t',\end{alignedat}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

où la loi de la progression est évidente ; car on voit que le coefficient de chaque terme, dans un rang horizontal quelconque, est égal au coefficient du terme qui lui est au-dessus dans le rang horizontal précédent, plus, à celui qui est à gauche dans le même rang. Ainsi, dans la valeur de $\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IX}}},$ on a

$1=1+0,\quad 8=7+1,\quad 27=20+7,\quad 48=28+20,\quad 42=14+28\,;$

et ainsi des autre.

D’où il est facile de conclure qu’on aura, en général,

$\theta ^{(\lambda )}=t^{(\lambda )}+(\lambda -1)t^{(\lambda -2)}+{\frac {\lambda (\lambda -3)}{2}}t^{(\lambda -4)}+{\frac {\lambda (\lambda -1)(\lambda -5)}{2.3}}t^{(\lambda -6)}$

$+{\frac {\lambda (\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -7)}{2.3.4}}t^{(\lambda -8)}+{\frac {\lambda (\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -3)(\lambda -9)}{2.3.4.5}}t^{(\lambda -10)}+\ldots .$

Corollaire.

28. Donc, si l’on a une série telle que

$t+t'x+t''x^{2}+t'''x^{3}+t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots ,$

et qu’on demande si elle est récurrente d’un ordre pair, et produite par