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PROPOSITION IV.

Problème.

27. Étant donnée une suite récurrente d’un ordre pair, dont la fraction génératrice ait pour dénominateur un polynôme réciproque d’un degré pair, et pour numérateur un polynôme, aussi réciproque, d’un degré pair et moindre de deux unités que celui du dénominateur, on propose de transformer cette série en une autre pareillement récurrente, mais d’un ordre moindre de la moitié.

Soit proposée la série

$t+t'x+t''x^{2}+t'''x^{3}+t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots ,$

dont la fraction génératrice soit représentée par la formule

${\frac {[0]+[1]x+[2]x^{2}+\ldots +[2]x^{2\mu -4}+[1]x^{2\mu -3}+[0]x^{2\mu -2}}{(0)+(1)x+(2)x^{2}+\ldots +(2)x^{2\mu -2}+(1)x^{2\mu -1}+(0)x^{2\mu }}},$

en sorte que la série proposée soit de l’ordre $2\mu ,$ et supposons que cette série soit transformée en une autre, telle que

$\theta +\theta 'y+\theta ''y^{2}+\theta '''y^{3}+\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{4}+\ldots ,$

laquelle ne soit que de l’ordre $\mu ,$ et dont la fraction génératrice soit représentée par la formule

${\frac {a+by+cy^{2}+\ldots +hy^{\mu -1}}{\mathrm {A} +\mathrm {B} y+\mathrm {C} y^{2}+\ldots +\mathrm {K} y^{\mu }}}.$

Je fais, pour obtenir cette transformation,

$y={\frac {x}{1+x}},$

et, substituant cette valeur de $y$ dans la dernière fraction, j’ai, après avoir multiplié le haut et le bas par $\left(1+x^{2}\right)^{\mu },$

${\frac {\left(1+x^{2}\right)\left[a\left(1+x^{2}\right)^{\mu -1}+bx\left(1+x^{2}\right)^{\mu -2}+cx^{2}\left(1+x^{2}\right)^{\mu -3}+\ldots +hx^{\mu -1}\right]}{\mathrm {A} \left(1+x^{2}\right)^{\mu }+\mathrm {B} x\left(1+x^{2}\right)^{\mu -1}+\mathrm {C} x^{2}\left(1+x^{2}\right)^{\mu -2}+\ldots +\mathrm {K} x^{\mu }}},$