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2^o Que, si l’on prend le signe supérieur, la fraction aura pour numérateur un polynôme réciproque du degré $2(n-\nu -1)$ multiplié par $1-x^{2}\,;$ car ce numérateur, étant égal à $\mathrm {MQ'-NP'} x,$ sera représenté par un polynôme du degré $2(n-m)$ divisible par $1-x,$ et qui, par cette division, deviendra un polynôme réciproque du degré $2(n-\nu )-1$ (n^o 23, 5^o) ; or ce dernier polynôme, étant d’un degré impair, sera encore divisible par $1+x,$ et deviendra, par cette division, un polynôme réciproque du degré $2(n-\nu )-2$ (numéro cité, 4^o) ; donc, etc. ;

3^o Que, si l’on prend le signe inférieur, le numérateur de la même fraction sera un polynôme réciproque du degré $2(n-\nu ),$ c’est-à-dire, du même degré que son dénominateur ; ce qui est évident par ce qu’on a dit dans le n^o 23 (1^o). Donc, si l’on retranche de la fraction le premier terme $\mathrm {T}$ de la série, la fraction restante, après avoir réduit au même dénominateur, aura encore pour numérateur un polynôme réciproque de même degré (n^o 23, 3^o) mais ce numérateur doit être divisible par $x\,;$ donc il faudra que son premier terme, où $x$ n’entre pas, soit nul ; par conséquent le dernier terme, qui renferme $x^{2(n-\nu )}$ et qui a le même coefficient que le premier, sera nul aussi ; effaçant donc les deux termes extrêmes du numérateur, et divisant les autres par $x,$ on aura un polynôme réciproque du degré $2(n-\nu )-2$ pour le numérateur de la fraction génératrice de la série

$\mathrm {\left(T'-\,^{\text{‵}}T\right)} +\mathrm {\left(T''-\,^{\text{‵‵}}T\right)} x+\mathrm {\left(T'''-\,^{\text{‵‵‵}}T\right)} x^{2}+\ldots .$

Corollaire III.

26. Donc, si l’on divise la série (C) du Corollaire I par $1\mp x,$ ou, ce qui revient au même, qu’on la multiplie par la série

$1\pm x+x^{2}\pm x^{3}+x^{4}\pm \ldots ,$

on aura, en prenant successivement les signes supérieurs ou les inférieurs, deux séries dont l’une sera

(E)

$t+t'x+t''x^{2}+t'''x^{3}+t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+t^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}x^{5}+\ldots ,$