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c’est-à-dire, en réduisant au même dénominateur,

$\mathrm {\frac {MQ'\mp NP'}{\Pi P'Q'}}$

pour la fraction génératrice de la série (C).

Or, comme $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ sont deux polynômes contraires du degré $n-1$ et $\mathrm {P',Q'}$ deux polynômes aussi contraires du degré $n-2\nu ,$ et que d’ailleurs $\Pi$ est un polynôme réciproque du degré $2\nu ,$ il s’ensuit de ce qu’on a démontré dans le n^o 23 :

1^o Que le dénominateur $\Pi \mathrm {P'Q'}$ de la fraction dont il s’agit sera un polynôme réciproque du degré pair

$2(n-2\nu )+2\nu =2(n-\nu )\,;$

2^o Que le numérateur $\mathrm {MQ'\mp NP'}$ de la même fraction sera égal à un polynôme réciproque du degré pair $2(n-\nu -1),$ multiplié par $1\mp x.$

Corollaire II.

25. Si l’on ajoute à la série (A), ou qu’on en retranche la série (B) multipliée par $x,$ il viendra celle-ci

(D)

$\mathrm {T} +\mathrm {\left(T'\pm \,^{\text{‵}}T\right)} x+\mathrm {\left(T''\pm \,^{\text{‵‵}}T\right)} x^{2}+\mathrm {\left(T'''\pm \,^{\text{‵‵‵}}T\right)} x^{3}+\ldots ,$

dont la fraction génératrice sera donc égale à

$\mathrm {\frac {M}{P}} \mp {\frac {\mathrm {N} x}{\mathrm {Q} }}.$

Soit, comme ci-dessus,

$\mathrm {P=\Pi P'\quad {\text{et}}\quad Q=\Pi Q'} \,;$

on aura donc

$\mathrm {\frac {M}{\Pi P'}} \mp {\frac {\mathrm {N} x}{\Pi \mathrm {Q} '}},\quad {\text{c’est-à-dire,}}\quad {\frac {\mathrm {MQ'\mp NP'} x}{\Pi \mathrm {P'Q'} }}$

pour la fraction génératrice de la série (D) ; d’où l’on voit

1^o Que le dénominateur de cette fraction sera le même que celui de la fraction génératrice de la série (C), c’est-à-dire, un polynôme réciproque du degré pair $2(n-\nu )\,;$