Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/551

les termes de la série donnée, et supposons que, en continuant la même série en arrière, on ait les termes

$\mathrm {T} ,\ \ ^{\text{‵}}\mathrm {T} ,\ \ ^{\text{‵‵}}\mathrm {T} ,\ \ ^{\text{‵‵‵}}\mathrm {T} ,\ldots ,\ \ ^{(m)}\mathrm {T} ,\ \ ^{(m+1)}\mathrm {T} ,$

de sorte que la série continuée des deux côtés soit représentée ainsi

$\ldots ^{(m+1)}\mathrm {T} ,\ \ ^{(m)}\mathrm {T} ,\ldots ,\ \ ^{\text{‵‵‵}}\mathrm {T} ,\ \ ^{\text{‵‵}}\mathrm {T} ,\ \ ^{\text{‵}}\mathrm {T} ,\ \ \mathrm {T} ,\ \ \mathrm {T} ',\ \ \mathrm {T} '',\ \ \mathrm {T} ''',\ldots ,$

$\mathrm {T} ^{(m)},\ \ \mathrm {T} ^{(m+1)},\ldots ,$

où les termes en allant de la gauche à la droite soient tous formés les uns des autres, suivant une même loi générale.

Soit de plus

${\frac {[0]+[1]x+[2]x^{2}+[3]x^{3}+\ldots +[n-1]x^{n-1}}{(0)+(1)x+(2)x^{2}+(3)x^{3}+\ldots +(n)x^{n}}}$

la fraction génératrice de la série

$\mathrm {T} +\mathrm {T} ''x^{2}+\mathrm {T} '''x^{3}+\ldots \,;$

la question est de trouver la fraction génératrice de la série

$\mathrm {T} +^{\text{‵}}\!\mathrm {T} x-^{\text{‵‵}}\!\mathrm {T} x^{2}+^{\text{‵‵‵}}\!\mathrm {T} x^{3}+^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\!\mathrm {T} x^{4}+\ldots .$

Pour la résoudre, supposons que la fraction donnée soit décomposée en ces $n$ fractions simples

${\frac {\mathrm {K} }{1-px}}+{\frac {\mathrm {L} }{1-qx}}+{\frac {\mathrm {M} }{1-rx}}+{\frac {\mathrm {N} }{1-sx}}+\ldots \,;$

on aura, pour l’expression du terme général $T^{(m)}x^{m},$ celle-ci

$\left(\mathrm {K} p^{m}+\mathrm {L} q^{m}+\mathrm {M} r^{m}+\mathrm {N} s^{m}+\ldots \right)x^{m},$

d’où

$\mathrm {T} ^{(m)}=\mathrm {K} p^{m}+\mathrm {L} q^{m}+\mathrm {M} r^{m}+\mathrm {N} s^{m}+\ldots .$

Or, comme cette expression de $\mathrm {T} ^{(m)}$ doit être générale pour tous les termes de la série, il est visible que, pour avoir les valeurs des termes

$^{\text{‵}}\mathrm {T} ,\ \ ^{\text{‵‵}}\mathrm {T} ,\ \ ^{\text{‵‵‵}}\mathrm {T} ,\ldots ,\ \ ^{(m)}\mathrm {T}$

‵‵‵