20. Il est encore bon de remarquer que l’on peut toujours simplifier une série récurrente et la rabaisser à un ordre inférieur, en y détruisant quelques-unes des séries partielles dont elle est composée, pourvu qu’on connaisse seulement l’échelle de relation de ces séries, c’est-à-dire, le dénominateur de leur fraction génératrice ; car, comme ce dénominateur doit être un facteur de celui de la fraction génératrice de la série totale, il s’ensuit que, si l’on multiplie cette série par le même facteur, la série résultante deviendra nécessairement plus simple, puisque sa fraction génératrice n’aura plus pour dénominateur que l’autre facteur, en sorte que les séries partielles dépendant du premier facteur se trouveront entièrement éteintes.
Il faut seulement observer que, dans ce cas, la nouvelle série contiendra, au commencement, autant de termes irréguliers qu’il y a d’unités dans le degré du multiplicateur ; de sorte qu’il faudra retrancher ces termes et diviser ensuite les autres par la plus haute puissance de dont l’exposant sera le nombre des termes retranchés.
Soit, par exemple, la série de l’ordre
dont la fraction génératrice soit étant un polynôme du degré et un polynôme du degré dont les facteurs soient
on aura, pour l’expression du terme général de la série,
Maintenant, si l’on suppose qu’on connaisse les deux quantités et on pourra simplifier la série proposée et la rabaisser à l’ordre en y détruisant la partie qui répond aux termes car pour cela il
