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qu’un cas particulier de notre Théorie générale, car on sait que toute série qui a des différences constantes d’un ordre quelconque n’est autre chose qu’une série simplement algébrique du même ordre ; par conséquent ce n’est qu’une espèce de séries récurrentes dont l’échelle, au lieu d’être un polynôme quelconque, est une puissance du binôme particulier $1-x$ (n^o 7). J’avoue que la méthode des différences est plus simple et plus commode que celle des fractions continues que nous venons d’exposer ; aussi est-elle préférable pour trouver la loi des séries qui ont des différences constantes d’un ordre quelconque ; mais, si en prenant les différences successives des termes d’une série on ne parvient jamais à des différences constantes, il faut alors avoir recours à notre méthode, pour voir si la série est au moins du genre des récurrentes.

Au reste il est bon de remarquer que, si l’on prend les différences successives des termes d’une série récurrente quelconque, ces différences formeront elles-mêmes une autre série récurrente du même ordre ; car soit la série récurrente

$\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\mathrm {T} '''x^{3}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}x^{5}+\ldots ,$

laquelle résulte de la fraction

${\frac {[0]+[1]x+[2]x^{2}+\ldots +[n-1]x^{n-1}}{(0)+(1)x+(2)x^{2}+\ldots +(n)x^{n}}}\,;$

qu’on mette, tant dans la série que dans la fraction, ${\frac {x}{1+x}}$ à la place de $x,$ et qu’on divise ensuite l’une et l’autre par $1+x,$ il est clair que la série deviendra celle-ci

${\frac {\mathrm {T} }{1+x}}+{\frac {\mathrm {T} 'x}{(1+x)^{2}}}+{\frac {\mathrm {T} ''x^{2}}{(1+x)^{3}}}+{\frac {\mathrm {T} '''x^{3}}{(1+x)^{4}}}+\ldots ,$

laquelle, en développant les puissances de $1+x,$ suivant les règles connues, et ordonnant les termes suivant $x,$ se réduit à cette forme

$\mathrm {T} +\mathrm {\left(T'-T\right)} x+\mathrm {\left(T''-2T'+T\right)} x^{2}+\ldots ,$

c’est-à-dire, à

$\mathrm {T} +\Delta \mathrm {T} .x+\Delta ^{2}\mathrm {T} .x^{2}+\Delta ^{3}\mathrm {T} .x^{3}+\ldots ,$