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et que ce dernier se résout encore dans ces deux facteurs imaginaires

$1-\left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {-3}}{2}}\right)x,\quad 1-\left({\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {-3}}{2}}\right)x,$

ou bien

$1-\left(\cos 60^{\circ }+{\sqrt {-1}}\sin 60^{\circ }\right)x,\quad 1-\left(\cos 60^{\circ }-{\sqrt {-1}}\sin 60^{\circ }\right)x,$

ou, ce qui revient au même,

$1-e^{60^{\circ }.{\sqrt {-1}}}x,\quad 1-e^{-60^{\circ }.{\sqrt {-1}}}x,$

on pourra décomposer la fraction génératrice en ces quatre-ci

${\frac {\mathrm {K} }{1-x}}+{\frac {\mathrm {K} _{1}}{(1-x)^{2}}}+{\frac {\mathrm {L} }{1-e^{60^{\circ }.{\sqrt {-1}}}x}}+{\frac {\mathrm {M} }{1-e^{-60^{\circ }.{\sqrt {-1}}}x}},$

et l’on trouvera

$\mathrm {K} =-1,\quad \mathrm {K} _{1}=1,$

${\begin{aligned}\mathrm {L} &={\frac {e^{60^{\circ }.{\sqrt {-1}}}-1}{e^{60^{\circ }.{\sqrt {-1}}}-e^{-60^{\circ }.{\sqrt {-1}}}}}=e^{30^{\circ }.{\sqrt {-1}}}\times {\frac {e^{30^{\circ }.{\sqrt {-1}}}-e^{-30^{\circ }.{\sqrt {-1}}}}{e^{60^{\circ }.{\sqrt {-1}}}-e^{-60^{\circ }.{\sqrt {-1}}}}}\\&=e^{30^{\circ }.{\sqrt {-1}}}\times {\frac {1}{e^{30^{\circ }.{\sqrt {-1}}}+e^{-30^{\circ }.{\sqrt {-1}}}}}={\frac {e^{30^{\circ }.{\sqrt {-1}}}}{2\cos 30^{\circ }}},\end{aligned}}$

et de même

$\mathrm {M} ={\frac {e^{-30^{\circ }.{\sqrt {-1}}}}{2\cos 30^{\circ }}}\,;$

de là on trouvera le terme général

$\left[\mathrm {K} +(m+1)\mathrm {K} _{1}+\mathrm {L} e^{m.60^{\circ }.{\sqrt {-1}}}+\mathrm {M} e^{-m.60^{\circ }.{\sqrt {-1}}}\right]x^{m},$

c’est-à-dire, en substituant les valeurs des coefficients $\mathrm {K,K_{1},L,M}$ et réduisant,

$\left[m+{\frac {\cos \left(30^{\circ }+m.60^{\circ }\right)}{\cos 30^{\circ }}}\right]x^{m}.$