Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/535

dont le premier terme contiendra encore $x\,;$ en sorte que dans la division suivante il viendra des puissances négatives de $x$ au quotient, ce qui pourrait causer quelque embarras ; mais il sera aisé de l’éviter en divisant le reste dont il s’agit par la plus haute puissance de $x$ dont il est divisible, et mettant ensuite cette puissance à la place de $x^{2}$ dans les formules du n^o 2.

En général, soient

${\begin{aligned}&r'\ \,x^{\lambda }+t'\ x^{\lambda +1}+\ldots ,\\&r''\,x^{\mu }+t''\,x^{\mu +1}+\ldots ,\\&r'''x^{\nu }+t'''x^{\nu +1}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&r^{(n-1)}x^{\sigma }+t^{(n-1)}x^{\sigma +1}+\ldots ,\end{aligned}}$

les restes provenant de la première, de la deuxième, de la troisième,…, de la $(n+1)$^ième division ; on divisera d’abord, pour plus de facilité, chacun de ces restes par les premiers termes

$r'x^{\lambda },\quad r''x^{\mu },\quad r'''x^{\nu },\ldots ,\quad r^{(n-1)}x^{\sigma },$

pour avoir des polynômes dont les premiers termes soient l’unité, et, ces polynômes étant nommés

$s,\ \ s',\ \ s'',\ \ s''',\ldots ,\ \ s^{(n-1)},$

on continuera l’opération comme on l’a enseigné dans le n^o 10.

De cette manière, on trouvera la série $s$ exprimée par la fraction continue

$s={\frac {1}{p+qx+{\cfrac {r'x^{\lambda }}{p'+q'x+{\cfrac {r''x^{\mu }}{p''+q''x+{\cfrac {r'''x^{\nu }}{p'''+q'''x+\ddots +{\cfrac {r^{(n-1)}x^{\sigma }}{p^{(n-1)}+q^{(n-1)}x}}}}}}}}}}\,;$

et, pour la réduire à une fraction ordinaire, on cherchera les valeurs